《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

9. 将一张面积为 $ 64 cm^{2} $ 的正方形纸片沿着边的方向裁出一个长宽之比为 $ 4:3 $ 的长方形纸片(裁剪方式见示意图),该长方形纸片的面积可能是 $ 60 cm^{2} $ 吗? 请通过计算说明.

答案： 9.解:设长方形纸片的长是4x cm,宽是3x cm.则4x·3x=60,解得x=±√5.
∵x＞0,
∴x=√5,长方形的长为4√5 cm,宽为3√5 cm.正方形纸片的边长为√64=8(cm).
∵4√5＞8,
∴该长方形纸片的面积不可能是60 cm².

10. 王老师给同学们布置了这样一道习题:一个数的算术平方根为 $ 2m - 6 $,它的平方根为 $ \pm (m - 2) $,求这个数. 小张的解法如下:
解:依题意可知 $ 2m - 6 $ 与 $ m - 2 $ 相等或与 $ -(m - 2) $ 相等.
当 $ 2m - 6 = m - 2 $ 时,解得 $ m = 4 $,
$ 2m - 6 = 2 × 4 - 6 = 2 $,所以这个数为 $ 4 $;
当 $ 2m - 6 = -(m - 2) $ 时,解得 $ m = \frac{8}{3} $,
$ 2m - 6 = 2 × \frac{8}{3} - 6 = -\frac{2}{3} $,所以这个数为 $ \frac{4}{9} $.
综上可得,这个数为 $ 4 $ 或 $ \frac{4}{9} $.
王老师看后,说小张的解法是错误的. 你知道小张错在哪里吗? 请改正.

答案： 10.解:错在没有考虑算术平方根的非负性.改正:
∵2m-6是某数的算术平方根,
∴2m-6≥0,解得m≥3,
∴m=8/3不符合题意,舍去.故这个数为4.

11. 已知实数 $ a,b,c $ 满足式子 $ (a - \sqrt{8})^{2} + \sqrt{b - 5} + |c - 3\sqrt{2}| = 0 $.
(1)求 $ a,b,c $ 的值.
(2)以 $ a,b,c $ 为边长能否构成三角形? 若能构成三角形,求出三角形的周长;若不能构成三角形,请说明理由.

答案： $(1)$ 求$a,b,c$的值
解：
因为一个数的平方$\geq0$，一个数的算术平方根$\geq0$，一个数的绝对值$\geq0$，已知$(a - \sqrt{8})^{2} + \sqrt{b - 5} + |c - 3\sqrt{2}| = 0$。
所以$(a - \sqrt{8})^{2}=0$，$\sqrt{b - 5}=0$，$|c - 3\sqrt{2}| = 0$。
由$(a - \sqrt{8})^{2}=0$，可得$a-\sqrt{8}=0$，即$a = \sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
由$\sqrt{b - 5}=0$，可得$b - 5 = 0$，即$b = 5$。
由$|c - 3\sqrt{2}| = 0$，可得$c - 3\sqrt{2}=0$，即$c = 3\sqrt{2}$。
$(2)$ 判断以$a,b,c$为边长能否构成三角形，若能求周长
解：
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
计算$a + c$的值：$a + c=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$，因为$5\sqrt{2}=\sqrt{50}$，$5 = \sqrt{25}$，$\sqrt{50}＞\sqrt{25}$，即$a + c＞b$。
计算$c - a$的值：$c - a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，因为$\sqrt{2}＜5$，即$c - a＜b$。
所以能构成三角形。
三角形周长$L=a + b + c=2\sqrt{2}+5 + 3\sqrt{2}=5 + 5\sqrt{2}$。
综上，答案为：$(1)a = 2\sqrt{2}$，$b = 5$，$c = 3\sqrt{2}$；$(2)$能构成三角形，周长为$5 + 5\sqrt{2}$。