《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

1. 利用勾股定理解决折叠问题
(1) 全等关系：折叠前后图形全等,对应边、对应角相等。
(2) 折痕的作用：折痕是对称轴,可能隐含角平分线或垂直平分线。
(3) 直角三角形的生成：折叠常构造新直角三角形,便于用勾股定理列方程。

答案：
(1)全等，相等；
(2)对称轴；
(3)勾股定理

2. 圆柱(或圆锥)侧面上两点间的最短距离
把圆柱(或圆锥)侧面展开成平面图形,依据“两点之间,线段最短”,以最短路线为斜边构造直角三角形,利用勾股定理求解。

答案：
平面，线段，直角，勾股

3. 长方体(或正方体)侧面上两点间的最短距离
若计算同一个面上的两点之间的距离,比较容易。若计算不同面上的两点之间的距离,就必须把它们转化到同一个平面内,即把长方体(或正方体)设法展开成平面图形,使计算距离的两个点处在同一个平面中,这样就可以利用勾股定理来解决。

答案：
平面，平面图形，平面，勾股

1. 如图,在长方形 $ABCD$ 中,$AB = 6$,$BC = 8$,将 $\triangle ABD$ 沿 $BD$ 折叠,使点 $A$ 落在点 $P$ 处,$PD$ 交 $CB$ 于点 $Q$,求 $CQ$ 的长。

[知识点2] 圆柱(或圆锥)侧面上两点间的最短距离

答案：
1. 解:在长方形 ABCD 中,
∠A=∠C=90°,AB=CD=6,
由折叠的性质可知∠A=∠P=90°,BP=AB,
∴∠P=∠C,BP=CD.
在△BPQ 和△DCQ 中,

∵{∠BQP=∠DQC,
∠P=∠C,
BP=DC,
∴△BPQ≌△DCQ(AAS),
∴BQ=DQ.
设 CQ=x,则 DQ=BQ=BC - CQ=8 - x.
在Rt△CDQ 中,由勾股定理得CQ²+CD²=DQ²,
即x²+6²=(8 - x)²,解得x=7/4,
∴CQ 的长为7/4.

2. 如图,一只蚂蚁在底面半径为 $20\mathrm{cm}$、高为 $30\pi\mathrm{cm}$ 的圆柱下底面的点 $A$ 处,发现自己正上方圆柱上底面的点 $B$ 处有一只小昆虫,便决定捕捉这只小昆虫。为了不引起这只小昆虫的注意,它故意不走直线,绕着圆柱沿曲线爬行,从背后对小昆虫进行突然袭击,结果袭击成功,得到了一顿美餐。蚂蚁至少爬行多远才能捕捉到小昆虫？

[知识点3] 长方体(或正方体)侧面上两点间的最短距离

答案：
2. 解:如图,将圆柱体的侧面沿 AB 剪开铺平,则对角线 AB 即为蚂蚁爬行的最短路线.

在Rt△ACB 中,AC=40πcm,BC=30πcm,
则AB²=AC²+BC²=(40π)²+(30π)²=(50π)²,
解得AB=50π.
答:蚂蚁至少爬行50πcm 才能捕捉到小昆虫.