《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

6. 一个三角形的三边的长分别是 $ 15\mathrm{cm},20\mathrm{cm},25\mathrm{cm} $,则这个三角形的面积是150 $ \mathrm{cm}^{2} $.

答案： 150

7. 如图,点 $ D $ 是 $ \triangle ABC $ 上的一点. 若 $ AB = 10,AD = 8,AC = 17,BD = 6 $,求 $ BC $ 的长.

答案： 解：在$\triangle ABD$中，$AB=10$，$AD=8$，$BD=6$．$\because BD^{2}+AD^{2}=6^{2}+8^{2}=100$，$AB^{2}=10^{2}=100$，$\therefore BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$，$\therefore \triangle ABD$是直角三角形，$\therefore AD\perp BC$，$\therefore \triangle ADC$是直角三角形，$\therefore AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，$\therefore CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}=289-64=225$，$\therefore CD=15$．$\therefore BC=BD+CD=6+15=21$．

8. 如图,在正方形 $ ABCD $ 中,点 $ F $ 是 $ DC $ 的中点,点 $ E $ 是 $ BC $ 上一点,且 $ EC= \frac{1}{4}BC $. 试判断 $ AF $ 与 $ EF $ 是否垂直,并说明理由.

答案： 解：垂直．理由如下：连接$AE$（图略）．设正方形的边长为$a$，则$DF=FC=\dfrac{a}{2}$，$EC=\dfrac{a}{4}$．在$Rt\triangle ADF$中，由勾股定理得$AF^{2}=AD^{2}+DF^{2}=a^{2}+\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}=\dfrac{5}{4}a^{2}$．在$Rt\triangle CEF$中，$EF^{2}=CF^{2}+CE^{2}=\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{a}{4}\right)^{2}=\dfrac{5}{16}a^{2}$．在$Rt\triangle ABE$中，$AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}=a^{2}+\left(\dfrac{3a}{4}\right)^{2}=\dfrac{25}{16}a^{2}$．$\because AF^{2}+EF^{2}=\dfrac{5}{4}a^{2}+\dfrac{5}{16}a^{2}=\dfrac{25}{16}a^{2}=AE^{2}$，$\therefore \triangle AEF$是直角三角形，$\therefore \angle AFE=90^{\circ}$，$\therefore AF\perp EF$．

1. 下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是(B).
A.3 个角的度数比为 $ 1:2:3 $
B.3 条边的长度比为 $ 1:2:3 $
C.3 条边的长度满足关系式 $ a^{2}+c^{2}= b^{2} $
D.3 个角的大小满足关系式 $ \angle B+\angle C= \angle A $

答案： B

2. 下列各组数据为勾股数的是(C).
A.$ 0.3,0.4,0.5 $
B.$ 3^{2},4^{2},5^{2} $
C.$ 9,12,15 $
D.$ \frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5} $

答案： C

3. 我国古代把直角三角形的直角边中较短者称为“勾”,把另一长直角边称为“股”,把斜边称为“弦”. 观察下列勾股数：$ 3,4,5 $；$ 5,12,13 $；$ 7,24,25 $；…$ $. 这类勾股数的特点是：勾为奇数,弦与股相差 1. 柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差 2 的一类勾股数,如 $ 6,8,10 $；$ 8,15,17 $；…$ $. 若此类勾股数的勾为 10,则弦为(26).
A.25
B.26
C.27
D.28

答案： B

4. 若一个三角形三边长的比为 $ 5:12:13 $,则这个三角形三边上的高的比为156:65:60.

答案： 156:65:60

5. 如图所示的网格是正方形网格,点 $ A,B,C,D $ 是网格线的交点,则 $ \angle DAC $ 的度数为45°.

答案： 45°

6. 一个三角形的三边长之比为 $ 3:4:5 $,周长为 36,则它的面积是54.

答案： 54