《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

1. 二次根式的加减法法则
把二次根式各自化为最简二次根式后,把被开方数相同的项合并.

答案： 化为最简二次根式，被开方数

2. 二次根式的混合运算
(1)混合运算顺序:
先乘方(开方),再乘除,后加减,有括号的先算括号里面的.
(2)混合运算技巧:
尽量运用运算律、乘法公式等简化运算.

答案：
(1)乘除；括号；
(2)乘法

1. 计算下列题.
(1)$\sqrt{8}+\sqrt{18}$
(2)$\sqrt{48}-9\sqrt{\dfrac{1}{3}}+3\sqrt{12}$
(3)$(\sqrt{27}-\sqrt{2})-(\sqrt{18}+3\sqrt{\dfrac{1}{3}})$
[知识点2]二次根式的混合运算

答案： 1. （1）
解：
先将根式化简：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$。
然后计算：
$\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(2 + 3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$。
2. （2）
解：
先化简根式：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，$9\sqrt{\frac{1}{3}} = 9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$，$3\sqrt{12}=3\sqrt{4×3}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
然后计算：
$\sqrt{48}-9\sqrt{\frac{1}{3}}+3\sqrt{12}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+6\sqrt{3}=(4 - 3+6)\sqrt{3}=7\sqrt{3}$。
3. （3）
解：
先化简根式：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$3\sqrt{\frac{1}{3}} = 3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。
然后去括号计算：
$(\sqrt{27}-\sqrt{2})-(\sqrt{18}+3\sqrt{\frac{1}{3}})=(3\sqrt{3}-\sqrt{2})-(3\sqrt{2}+\sqrt{3})$
$=3\sqrt{3}-\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\sqrt{3}=(3\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-\sqrt{2}-3\sqrt{2})$
$=2\sqrt{3}-4\sqrt{2}$。
综上，答案依次为：（1）$5\sqrt{2}$；（2）$7\sqrt{3}$；（3）$2\sqrt{3}-4\sqrt{2}$。

2. 计算下列题.
(1)$\sqrt{27}÷\sqrt{3}+\sqrt{12}×\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\sqrt{5}$
(2)$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)+(2\sqrt{3}+1)^{2}$

答案： 1. （1）
解：
根据二次根式的乘除法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}(a\geq0,b ＞ 0)$，$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{a× b}(a\geq0,b\geq0)$。
对于$\sqrt{27}÷\sqrt{3}$，有$\sqrt{27÷3}=\sqrt{9}=3$；
对于$\sqrt{12}×\sqrt{\frac{1}{3}}$，有$\sqrt{12×\frac{1}{3}}=\sqrt{4}=2$。
则$\sqrt{27}÷\sqrt{3}+\sqrt{12}×\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{5}=3 + 2-\sqrt{5}=5-\sqrt{5}$。
2. （2）
解：
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a=\sqrt{5}$，$b = 2$，则$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5})^{2}-2^{2}=5 - 4=1$。
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，这里$a = 2\sqrt{3}$，$b = 1$，则$(2\sqrt{3}+1)^{2}=(2\sqrt{3})^{2}+2×2\sqrt{3}×1+1^{2}=12 + 4\sqrt{3}+1=13 + 4\sqrt{3}$。
所以$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)+(2\sqrt{3}+1)^{2}=1+13 + 4\sqrt{3}=14 + 4\sqrt{3}$。
综上，（1）的结果为$5-\sqrt{5}$；（2）的结果为$14 + 4\sqrt{3}$。

1. 化简$\sqrt{18}-\sqrt{8}$的结果是(C).
A.$\sqrt{10}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： C

2. 下列计算正确的是(D).

A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}= \sqrt{5}$
B.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}= 1$
C.$\sqrt{12}÷2= \sqrt{6}$
D.$\sqrt{2}×\sqrt{3}= \sqrt{6}$

答案： D

3. 下列数与$\sqrt{2}$的积仍为无理数的是(D).
A.$\sqrt{\dfrac{1}{8}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{0.8}$

答案： D

4. 计算$\left(6\sqrt{\dfrac{1}{6}}-2\sqrt{54}\right)÷(-\sqrt{6})$的结果是(A).
A.5
B.-5
C.7
D.-7

答案： A

5. $\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$的倒数是$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.

答案： (√5-1)/2