《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

9. 如图,某楼梯的长为$5\ m$,高为$3\ m$,宽为$2\ m$,计划在表面铺地毯.若每平方米地毯为$50$元,你能算出至少需要多少钱吗？

答案： 解:将每阶楼梯的横向线段和纵向线段分别向下和向右平移,则横向线段的和与纵向线段的和分别为直角三角形的两直角边的长.由勾股定理得直角三角形下面直角边的长为$\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$(m).
所以地毯的长度为3+4=7(m),
地毯的面积为7×2=14(m²),
需要的费用为14×50=700(元).
答:至少需要700元.

10. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形,重复这一过程所画出来的图形,因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.如图,假设有一个面积为$1$的正方形,经过一次“生长”后,在它的左、右肩上生出两个小正方形,其中$3$个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”……继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”.请你算出“生长”$2023$次后形成的图形中所有的正方形的面积之和为2024.

答案： 2024

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AB = 10$,$BC = 6$.点$P从点A$出发,以每秒$2个单位长度的速度沿折线A - B - C$运动.设点$P的运动时间为t秒(t ＞ 0)$.
(1)求斜边$AB$上的高.
(2)①当点$P在BC$上时,$PC = $16-2t(用含$t$的代数式表示)；
②若点$P在\angle BAC$的平分线上,求$t$的值.

答案：
(1)在△ABC中,
∵∠ACB=90°,AB=10,BC=6,
∴AC²=AB²-BC²=10²-6²=8²,
∴AC=8.
设斜边AB上的高为h,
则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot h$,
即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10h$,
解得$h=\frac{24}{5}$.
故斜边AB上的高为$\frac{24}{5}$.
(2)①16-2t
②若点P在∠BAC的平分线上,过点P作PD⊥AB于点D,如图所示:
∵AP平分∠BAC,
∴∠BAP=∠CAP.
∵PC⊥AC,PD⊥AB,
∴∠C=∠PDA=90°.
在△PAD和△PAC中,
$\left\{\begin{array}{l} PA=PA,\\ ∠PDA=∠PCA,\\ ∠PAD=∠PAC,\end{array}\right. $
∴△PAD≌△PAC,
∴PD=PC,
∴AD=AC=8.
由①知PC=16-2t,BP=2t-10,
∴PD=16-2t.
又
∵AB=10,
∴BD=2.
在Rt△BDP中,
由勾股定理得BD²+PD²=BP²,
即$2^{2}+(16-2t)^{2}=(2t-10)^{2}$,解得$t=\frac{20}{3}$.