《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

5. 如图,把长方形 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠,使得点 $D$ 与点 $B$ 重合,点 $C$ 落在点 $C'$ 的位置。
(1) 试说明 $\triangle ABE\cong\triangle C'BF$。
(2) 若 $AB = 4$,$AD = 8$,求 $\triangle BEF$ 的面积。

答案： 5. 解:
(1)
∵四边形 ABCD 是长方形,
∴AB=CD,AD=BC,∠C=∠ABC=∠A=∠D=90°,
∴∠ABE+∠EBC=90°.
∵把长方形 ABCD 沿 EF 折叠,
∴BC'=CD,∠C=∠C'=90°,∠EBC'=∠D=90°,
∴∠EBC+∠FBC'=90°,
∴∠ABE=∠FBC'.
在△ABE 和△C'BF 中,
∠A=∠C'=90°,
∵AB=C'B,
∠ABE=∠C'BF,
∴△ABE≌△C'BF(ASA).
(2)设AE=x,
根据翻折不变性,得BE=DE=AD - AE=8 - x,
在Rt△ABE 中,由勾股定理得x²+4²=(8 - x)²,解得x=3,
∴AE=3,DE=5.
∵△ABE≌△C'BF,
∴BE=BF=5,
∴S△BEF=1/2BF·AB=1/2×5×4=10.

6. 如图,现有一根 $2\mathrm{m}$ 高的圆柱,圆柱的底面周长为 $0.3\mathrm{m}$。为了营造喜庆的气氛,老师让小明将一条彩带从圆柱底端向圆柱顶端均匀地缠绕 $7$ 圈,一直缠到起点的正上方为止。小明至少需要准备一条多长的彩带？

答案：
6. 解:如图,
∵BC 是圆柱的高,
∴BC=2m.

∵圆柱的底面周长是0.3m,
∴AC 的长为0.3×7=2.1(m).
在Rt△ABC 中,
∵AB²=AC²+BC²,
∴AB²=2.1²+2²=8.41=2.9²,
∴AB=2.9m.
答:小明至少需要准备一条2.9m 长的彩带.

1. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题,该题的大意是：一根竹子原高 $1$ 丈($1$ 丈 $= 10$ 尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根 $4$ 尺,问折断处离地面多高。可知折断处离地面的高度为(C)。

A.$4.55$ 尺
B.$5.45$ 尺
C.$4.2$ 尺
D.$5.8$ 尺

答案： C

2. 一个三级台阶如图所示,它每一级的长、宽、高分别为 $100\mathrm{cm}$,$15\mathrm{cm}$,$10\mathrm{cm}$,点 $A$ 和点 $B$ 是这个台阶的两个相对的端点。点 $A$ 处的一只蚂蚁想到点 $B$ 吃可口的食物,则它所爬的最短路线的长度为(B)。

A.$115\mathrm{cm}$
B.$125\mathrm{cm}$
C.$135\mathrm{cm}$
D.$145\mathrm{cm}$

答案： B

3. 如图,牧童在点 $A$ 处放牛,牧童家在点 $B$ 处,点 $A$,$B$ 距河岸 $DC$ 的距离 $AC$,$BD$ 分别为 $500\mathrm{m}$ 和 $700\mathrm{m}$,且 $C$,$D$ 两点间的距离为 $500\mathrm{m}$。天黑前,牧童从点 $A$ 处将牛牵到河边饮水再回家,那么牧童要走的最短距离为(C)。

A.$1000\mathrm{m}$
B.$1200\mathrm{m}$
C.$1300\mathrm{m}$
D.$1700\mathrm{m}$

答案： C