《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

1. 已知实数$a$在数轴上的对应点如图所示,则化简$\vert a - 1\vert-\sqrt{(a - 2)^{2}}$的结果是(A)。

A.$2a - 3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3 - 2a$

答案： A

2. 无论$a$取任何值,下列式子一定有意义的是(D)。
A.$\sqrt{a}$
B.$\sqrt{a^{2}-1}$
C.$\sqrt{a + 1}$
D.$\sqrt{a^{2}+1}$

答案： D

3. 下列式子正确的是(C)。
A.$\sqrt{4}= \pm2$
B.$\pm\sqrt{\frac{1}{9}}= \frac{1}{3}$
C.$(\sqrt{5})^{2}= 5$
D.$\sqrt[3]{8}= \pm2$

答案： C

4. 已知$1＜x＜2$,则化简$\sqrt{(x - 5)^{2}}+\vert x - 3\vert$的结果是(D)。
A.$2$
B.$-2$
C.$2x - 8$
D.$8 - 2x$

答案： D

5. 若二次根式$\frac{1}{\sqrt{2025 - x}}$有意义,则$x$的取值范围是x＜2025。

答案： x＜2025

6. 当$a＜-1$时,代数式$\vert1 + a\vert-\sqrt{a^{2}}$的值为-1。

答案： -1

7. 若一个长方形的面积为$100cm^{2}$,它的长与宽的比为$5:1$,则它的长为$10\sqrt{5}$$cm$,宽为$2\sqrt{5}$$cm$。

答案： $10\sqrt5 2\sqrt5$　　

8. 把下列二次根式化为最简二次根式。
(1) $\sqrt{28}$ (2) $\sqrt{\frac{3}{5}}$
(3) $\sqrt{2\frac{1}{4}}$ (4) $\sqrt{9a^{2}b^{5}}(a＞0,b＞0)$

答案： 1. （1）
解：$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}$
根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，这里$a = 4$，$b = 7$，则$\sqrt{4×7}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{7}$。
因为$\sqrt{4}=2$，所以$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
2. （2）
解：$\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$，根据$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，这里$a = 3$，$b = 5$，则$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}$。
因为$\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{15}$，$\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5$，所以$\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$。
3. （3）
解：先将带分数$2\frac{1}{4}$化为假分数，$2\frac{1}{4}=\frac{2×4 + 1}{4}=\frac{9}{4}$。
则$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$。
根据$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，这里$a = 9$，$b = 4$，$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$。
因为$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{4}=2$，所以$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$。
4. （4）
解：$\sqrt{9a^{2}b^{5}}=\sqrt{9a^{2}b^{4}\cdot b}$。
根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，这里$a = 9a^{2}b^{4}$，$b = b$，则$\sqrt{9a^{2}b^{4}\cdot b}=\sqrt{9a^{2}b^{4}}\cdot\sqrt{b}$。
又因为$\sqrt{9a^{2}b^{4}}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{a^{2}}\cdot\sqrt{b^{4}}$（$a＞0,b＞0$），$\sqrt{9}=3$，$\sqrt{a^{2}}=a$，$\sqrt{b^{4}}=(b^{2})^{2}=b^{2}$。
所以$\sqrt{9a^{2}b^{5}} = 3ab^{2}\sqrt{b}$。
综上，（1）$2\sqrt{7}$；（2）$\frac{\sqrt{15}}{5}$；（3）$\frac{3}{2}$；（4）$3ab^{2}\sqrt{b}$。

9. 有理数$a$,$b$在数轴上的对应点如图所示,化简$\sqrt{a^{2}}-\sqrt{b^{2}}-\sqrt{(a - b)^{2}}+\vert a + b\vert$。

答案： 解：由数轴可知$a\lt0$，$b\gt0$，$a - b\lt0$，$a + b\lt0$。
根据二次根式性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$，则：
$\sqrt{a^{2}}-\sqrt{b^{2}}-\sqrt{(a - b)^{2}}+\vert a + b\vert$
$=\vert a\vert-\vert b\vert-\vert a - b\vert+\vert a + b\vert$
因为$a\lt0$，所以$\vert a\vert=-a$；$b\gt0$，所以$\vert b\vert = b$；$a - b\lt0$，所以$\vert a - b\vert=-(a - b)=b - a$；$a + b\lt0$，所以$\vert a + b\vert=-(a + b)=-a - b$。
将上述结果代入原式可得：
$-a - b-(b - a)+(-a - b)$
$=-a - b - b + a - a - b$
$=-a - 3b$。

10. 已知$2x - 4与3x - 1是a$的平方根,$\sqrt{b - 3}与\vert c + 2\vert$互为相反数,$d= \sqrt{e - 2}+\sqrt{2 - e}-3$,求$a + b + c + d + e$的平方根。

答案： 解：
- **步骤一：求$x$和$a$的值
因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以$2x - 4$与$3x - 1$互为相反数，即$(2x - 4)+(3x - 1)=0$。
$\begin{aligned}2x - 4 + 3x - 1&=0\\5x - 5&=0\\5x&=5\\x&=1\end{aligned}$
当$x = 1$时，$2x - 4=2×1 - 4=-2$，$a = (-2)^2 = 4$。
- **步骤二：求$b$和$c$的值
因为$\sqrt{b - 3}$与$\vert c + 2\vert$互为相反数，所以$\sqrt{b - 3}+\vert c + 2\vert = 0$。
由于二次根式$\sqrt{b - 3}\geq0$，绝对值$\vert c + 2\vert\geq0$，要使它们的和为$0$，则$\sqrt{b - 3}=0$且$\vert c + 2\vert = 0$。
由$\sqrt{b - 3}=0$可得$b - 3 = 0$，即$b = 3$；由$\vert c + 2\vert = 0$可得$c + 2 = 0$，即$c = - 2$。
- **步骤三：求$d$和$e$的值
对于$d = \sqrt{e - 2}+\sqrt{2 - e}-3$，要使根式$\sqrt{e - 2}$和$\sqrt{2 - e}$有意义，则$e - 2\geq0$且$2 - e\geq0$，即$e = 2$。
当$e = 2$时，$d = \sqrt{2 - 2}+\sqrt{2 - 2}-3=-3$。
- **步骤四：计算$a + b + c + d + e$的值并求其平方根
将$a = 4$，$b = 3$，$c = - 2$，$d = - 3$，$e = 2$代入$a + b + c + d + e$可得：
$a + b + c + d + e=4 + 3-2-3 + 2=4$
$4$的平方根为$\pm\sqrt{4}=\pm2$。
综上，$a + b + c + d + e$的平方根是$\pm2$。

11. 已知$\triangle ABC的三边的长度为a$,$b$,$c$,试化简$\sqrt{(a + b + c)^{2}}+\sqrt{(a - b - c)^{2}}+\sqrt{(b - a - c)^{2}}-\sqrt{(c - b - a)^{2}}$。

答案： 解:
∵a,b,c为△ABC的三边的长度,
∴a+b+c＞0,a-b-c＜0,b-a-c＜0,c-b-a＜0,
∴原式=|a+b+c|+|a-b-c|+|b-a-c|-|c-b-a|=a+b+c-a+b+c-b+a+c-c+b-a=4c.