《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

1. 估计无理数的近似值
(1) 估算被开方数在哪两个平方数(立方数)之间;
(2) 确定无理数的整数位;
(3) 按要求估算.
一般地,开平方估算到一位小数,开立方估算到整数位.

答案：
(1)平方；立方；
(2)整数；
(3)整数位

2. 比较无理数的大小
(1) 估算法:一般先采用分析的方法,估算出无理数的大小范围（或近似值）,再具体比较.
(2) 求差法:
若$\sqrt{a}-\sqrt{b}＞0$,则$\sqrt{a}$＞$\sqrt{b}$;
若$\sqrt{a}-\sqrt{b}＜0$,则$\sqrt{a}$＜$\sqrt{b}$;
若$\sqrt{a}-\sqrt{b}= 0$,则$\sqrt{a}$=$\sqrt{b}$.

答案：
(1)大小范围（或近似值）
(2) ＞ ，＜ ，=

1. 估算$\sqrt{43}$的大小(误差小于0.1).
[知识点2]比较无理数的大小

答案： 解：
因为$6^2 = 36$，$7^2 = 49$，且$36\lt43\lt49$，所以$6\lt\sqrt{43}\lt7$。
又因为$6.5^2 = 42.25$，$6.6^2 = 43.56$，且$42.25\lt43\lt43.56$，所以$6.5\lt\sqrt{43}\lt6.6$。
所以$\sqrt{43}\approx6.5$或$\sqrt{43}\approx6.6$（误差小于$0.1$）。

2. 通过估算比较$\frac{\sqrt{5}-1}{2}与\frac{7}{8}$的大小.

答案： 解：
因为$4\lt5\lt9$，所以$\sqrt{4}\lt\sqrt{5}\lt\sqrt{9}$，即$2\lt\sqrt{5}\lt3$。
进一步估算$\sqrt{5}\approx 2.24$（$\sqrt{5}$的近似值）。
则$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx\frac{2.24 - 1}{2}=\frac{1.24}{2}=0.62$。
而$\frac{7}{8}=0.875$。
因为$0.62\lt0.875$，所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\lt\frac{7}{8}$。
综上，答案为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\lt\frac{7}{8}$。

1. 如图,数轴上点$P$表示的数可能是(C).


A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{11}$
D.$\sqrt{17}$

答案： C

2. 实数$3,\sqrt{10},\sqrt[3]{25}$的大小关系是(D).


A.$\sqrt{10}＜3＜\sqrt[3]{25}$
B.$3＜\sqrt{10}＜\sqrt[3]{25}$
C.$\sqrt{10}＜\sqrt[3]{25}＜3$
D.$\sqrt[3]{25}＜3＜\sqrt{10}$

答案： D

3. 在式子$x^{3}-10= 0$中,$x$的近似值为(C).
A.10
B.3.16
C.2.15
D.$\pm2.15$

答案： C

4. 估计$\sqrt{17}+1$的值在(B).
A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间

答案： B

5. 若$a是\sqrt{10}$的整数部分,$b是\sqrt{5}$的整数部分,则$a^{2}+b^{2}= $13.

答案： 13

6. 比较下列各组数的大小.
(1) $\sqrt{3}-2与-\frac{\sqrt{2}}{3}$;
(2) $\sqrt{2}$与1.4;
(3) $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$与2;
(4) $\frac{\sqrt{7}-2}{8}与\frac{1}{8}$.

答案： 1. （1）
解：
先估算$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{2}\approx1.414$。
则$\sqrt{3}-2\approx1.732 - 2=-0.268$，$-\frac{\sqrt{2}}{3}\approx-\frac{1.414}{3}\approx - 0.471$。
因为$-0.268\gt - 0.471$，所以$\sqrt{3}-2\gt-\frac{\sqrt{2}}{3}$。
2. （2）
解：
因为$1.4=\sqrt{1.96}$，而$2\gt1.96$。
根据$y = \sqrt{x}(x\geq0)$是增函数（若$x_1\gt x_2\geq0$，则$\sqrt{x_1}\gt\sqrt{x_2}$），所以$\sqrt{2}\gt\sqrt{1.96}$，即$\sqrt{2}\gt1.4$。
3. （3）
解：
因为$\sqrt{5}\approx2.236$，则$\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx\frac{2.236 + 1}{2}=\frac{3.236}{2}=1.618$。
又因为$1.618\lt2$，所以$\frac{\sqrt{5}+1}{2}\lt2$。
4. （4）
解：
因为$\sqrt{7}\approx2.646$，则$\frac{\sqrt{7}-2}{8}\approx\frac{2.646-2}{8}=\frac{0.646}{8}$，$\frac{1}{8}=0.125$，$\frac{0.646}{8}=0.08075$。
因为$0.08075\lt0.125$，所以$\frac{\sqrt{7}-2}{8}\lt\frac{1}{8}$。
综上，答案依次为：（1）$\sqrt{3}-2\gt-\frac{\sqrt{2}}{3}$；（2）$\sqrt{2}\gt1.4$；（3）$\frac{\sqrt{5}+1}{2}\lt2$；（4）$\frac{\sqrt{7}-2}{8}\lt\frac{1}{8}$。