《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD平分\angle CAB$,交$BC于点D$,$DE\perp AB于点E$,$AC = 6$,$BC = 8$.
(1)求$DE$的长.
(2)求$\triangle ADB$的面积.

答案：
(1)在Rt△ABC中,
∵∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴由勾股定理得AB=10.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠EAD.
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=∠C=90°,
∴△CAD≌△EAD,
∴CD=DE,
$\frac{1}{2}AC\cdot CD+\frac{1}{2}AB\cdot DE=\frac{1}{2}AC\cdot BC$,
即$\frac{1}{2}×6DE+\frac{1}{2}×10DE=\frac{1}{2}×6×8$,
解得DE=3.
(2)△ADB的面积为$S=\frac{1}{2}AB\cdot DE=\frac{1}{2}×10×3=15$.

1. 在$\triangle ABC$中,已知$AB = 20$,$AC = 13$,$BC边上的高为12$,则线段$BC$的长为(D).
A.$11$
B.$4$
C.$21$
D.$11或21$

答案： D

2. 若一个直角三角形三边的长分别为$3$,$4$,$x$,则$x$的值可能有(B).
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： B

3. 在如图所示的象棋棋盘中,各个小正方形的边长均为$1$.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离的平方为(A).

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

答案： A

4. 如图,$\angle BDE = 90^{\circ}$,正方形$BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225$,则以$BD$为直径的半圆的面积是(B).

A.$16\pi$
B.$8\pi$
C.$4\pi$
D.$2\pi$

答案： B

5. 如果一个直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是$15\ cm和12\ cm$,那么这个直角三角形的面积是54 cm².

答案： 54 cm²

6. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 3$,$BC = 4$,将$\triangle ABC$折叠,使点$B恰好落在边AC上与点B'$重合,$AE$为折痕,则$EB'$的长为1.5.

答案： 1.5

7. 如图,分别以直角三角形的三边为边作正方形,其中两个正方形的面积分别是$9和49$,则字母$M$所在正方形的面积是40.

答案： 40

8. 如图,在长方形$ABCD$中,$AB = 18$,把长方形$ABCD沿AC$折叠,使点$B落在点E$处,$AE交DC于点F$.若$AF = 13$,求$AD$的长.

答案： 解:由折叠得∠EAC=∠BAC,AE=AB=18.
∵四边形ABCD为长方形,
∴DC//AB,
∴∠DCA=∠BAC,
∴∠EAC=∠DCA,
∴FC=AF=13.
∵AB=18,AF=13,
∴EF=18-13=5.
∵∠E=∠B=90°,
∴EC²=FC²-EF²=13²-5²=12²,
∴EC=12.
∵AD=BC=EC,
∴AD=12.