《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

3. 实数$a$,$b$,$c$在数轴上对应点的位置如图所示,如果$a$,$c$的绝对值相等,下列结论正确的是(D).

A.$a + b\gt0$
B.$abc\lt0$
C.$c\lt - b$
D.$b - a\gt0$

答案： D

4. 请写一个大于$\pi$的无理数：$\pi + 1$(写出$1$个即可).

答案： $\pi + 1$(答案不唯一.)

5. 实数$m$在数轴上对应点的位置如图所示,则$m + 1$＜$0$(填“$\gt$”“$=$”或“$\lt$”).

答案： ＜

6. 把下列数进行分类.
$0, - \pi,3.14,250\%, - \frac{2}{3}, - 2025,0.\dot{9}$
负实数：…$\{\}$；
正有理数：…$\{\}$；
无理数：…$\{\}$.

答案： 负实数：$\{-\pi,-2025,-\frac{2}{3},\cdots\}$；正有理数：$\{3.14,250\%,0.\dot{9},\cdots\}$；无理数：$\{-\pi,\cdots\}$

1. 下列说法正确的是(B).

A.任何实数都有平方根
B.任何实数都有立方根
C.数轴上的每一个点都表示一个有理数
D.两个无理数的和还是无理数

答案： B

2. 实数$a$在数轴上的对应点的位置如图所示,实数$b满足a + b\gt0$. 下列结论正确的是(B).

A.$b\lt1$
B.$b\gt|a|$
C.$ab\gt0$
D.$a - b\gt0$

答案： B

3. 表示$a$,$b$,$c这3$个数的点在数轴上的位置如图所示,则代数式$|a - b| + |a - c| - |b + c|$可化简为(D).

A.$2a - 2b - 2c$
B.$-2b$
C.$2a - 2b$
D.$-2a$

答案： D

4. 把下列数分别填在相应的括号内.
$-\frac{1}{2},0, - 1.3\dot{2},7.166,\frac{\pi}{2},5.131131113…$(相邻两个$3之间1的个数逐次加1$),$-9$
整数：…$\{\}$；
负数：…$\{\}$；
分数：…$\{\}$；
有理数：…$\{\}$；
正数：…$\{\}$；
无理数：…$\{\}$.

答案： 整数：$\{0,-9,\cdots\}$；负数：$\{-\frac{1}{2},-1.\dot{3}\dot{2},-9,\cdots\}$；分数：$\{-\frac{1}{2},-1.\dot{3}\dot{2},7.166,\cdots\}$；有理数：$\{-\frac{1}{2},0,-1.\dot{3}\dot{2},7.166,-9,\cdots\}$；正数：$\{7.166,\frac{\pi}{2},5.131131113\cdots(相邻两个3之间1的个数逐次加1),\cdots\}$；无理数：$\{\frac{\pi}{2},5.131131113\cdots(相邻两个3之间1的个数逐次加1),\cdots\}$

5. 在解决数学问题时,常常用到数形结合思想. 比如：$\vert x + 1\vert的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-1$的点间的距离,$\vert x - 2\vert的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2$的点间的距离. 当$\vert x + 1\vert + \vert x - 2\vert$取得最小值时,$x$的取值范围是(C).
A.$x\leq - 1$
B.$x\leq - 1或x\geq2$
C.$-1\leq x\leq2$
D.$x\geq2$

答案： C

6. 定义：若一个数的平方等于$-1$,记为$i^{2} = - 1$,这个数$i$叫作虚数单位,把形如$a + bi$($a$,$b$为实数)的数叫作复数,其中$a$叫作这个复数的实部,$b$叫作这个复数的虚部. 它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如：$(2 - i) + (5 + 3i) = (2 + 5) + (-1 + 3)i = 7 + 2i$；
$(1 + i)×(2 - i) = 1×2 - 1× i + 2× i - i^{2} = 2 + (-1 + 2)i + 1 = 3 + i$.
根据以上信息回答下列问题：
(1)填空：$i^{3} = $$-i$,$i^{4} = $$1$.
(2)计算：$(1 + i)×(3 - 4i)$.
$(1 + i)×(3 - 4i)$
$= 3 - 4i + 3i - 4i^2$
$= 3 - i + 4$
$= 7 - i$
(3)计算：$i + i^{2} + i^{3} + … + i^{2027}$.
$\because i + i^2 + i^3 + i^4 = i - 1 - i + 1 = 0$,
$2027÷4 = 506\cdots\cdots3$,
$\therefore i + i^2 + i^3 + \cdots + i^{2027} = i - 1 - i = -1$

答案：
(1)$i^3 = i^2\cdot i = -i$,$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$.故答案为$-i,1$.
(2)$(1 + i)×(3 - 4i)$
$= 3 - 4i + 3i - 4i^2$
$= 3 - i + 4$
$= 7 - i$.
(3)$\because i + i^2 + i^3 + i^4 = i - 1 - i + 1 = 0$,
$2027÷4 = 506\cdots\cdots3$,
$\therefore i + i^2 + i^3 + \cdots + i^{2027} = i - 1 - i = -1$