《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

6. 已知$a= \sqrt{3}+2$,$b= \sqrt{3}-2$,则$\sqrt{ab+1}$的值为0.

答案： 0

7. 计算下列题.
(1)$\sqrt{75}-2\sqrt{3}$
(2)$\dfrac{1}{2}\sqrt{24}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}$
(3)$5\sqrt{a}+5\sqrt{b}-\sqrt{9a}+\sqrt{9b}$
(4)$\left(\dfrac{1}{3}\sqrt{27}-4\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right)-2\left(\sqrt{\dfrac{3}{4}}-\sqrt{12}\right)$

答案： 1. （1）
解：
先化简$\sqrt{75}$，$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$。
则$\sqrt{75}-2\sqrt{3}=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(5 - 2)\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
2. （2）
解：
化简$\frac{1}{2}\sqrt{24}$，$\frac{1}{2}\sqrt{24}=\frac{1}{2}\sqrt{4×6}=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}=\sqrt{6}$；
化简$\sqrt{\frac{3}{2}}$，$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
所以$\frac{1}{2}\sqrt{24}+\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{2\sqrt{6}+\sqrt{6}}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$。
3. （3）
解：
化简$\sqrt{9a}$，$\sqrt{9a}=3\sqrt{a}$；化简$\sqrt{9b}$，$\sqrt{9b}=3\sqrt{b}$。
则$5\sqrt{a}+5\sqrt{b}-\sqrt{9a}+\sqrt{9b}=5\sqrt{a}+5\sqrt{b}-3\sqrt{a}+3\sqrt{b}=(5\sqrt{a}-3\sqrt{a})+(5\sqrt{b}+3\sqrt{b})=2\sqrt{a}+8\sqrt{b}$。
4. （4）
解：
化简$\frac{1}{3}\sqrt{27}$，$\frac{1}{3}\sqrt{27}=\frac{1}{3}\sqrt{9×3}=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
化简$4\sqrt{\frac{1}{3}}$，$4\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
化简$\sqrt{\frac{3}{4}}$，$\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
化简$\sqrt{12}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
则$(\frac{1}{3}\sqrt{27}-4\sqrt{\frac{1}{3}})-2(\sqrt{\frac{3}{4}}-\sqrt{12})=(\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3})-2(\frac{\sqrt{3}}{2}-2\sqrt{3})$
$=\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}+4\sqrt{3}$
$=(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-\frac{4\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3})$
$=\frac{-4\sqrt{3}+12\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
综上，答案依次为：（1）$3\sqrt{3}$；（2）$\frac{3\sqrt{6}}{2}$；（3）$2\sqrt{a}+8\sqrt{b}$；（4）$\frac{8\sqrt{3}}{3}$。

8. 计算下列题.
(1)$(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})-(3\sqrt{5}-1)^{2}$
(2)$(-2+\sqrt{6})(-2-\sqrt{6})+\left(\sqrt{3}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}$

答案： $(1)$
解：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，可得$(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})=7^2-(4\sqrt{3})^2$
$=49 - 48=1$。
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，可得$(3\sqrt{5}-1)^2=(3\sqrt{5})^2-2×3\sqrt{5}×1 + 1^2$
$=45 - 6\sqrt{5}+1=46 - 6\sqrt{5}$。
则$(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})-(3\sqrt{5}-1)^2=1-(46 - 6\sqrt{5})$
$=1 - 46 + 6\sqrt{5}=-45 + 6\sqrt{5}$。
$(2)$
解：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，可得$(-2+\sqrt{6})(-2-\sqrt{6})=(-2)^2-(\sqrt{6})^2$
$=4 - 6=-2$。
对$\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}$进行通分，$\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3 - 1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，则$(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}})^2=(\frac{2}{\sqrt{3}})^2=\frac{4}{3}$。
所以$(-2+\sqrt{6})(-2-\sqrt{6})+(\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}})^2=-2+\frac{4}{3}$
$=-\frac{6}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}$。
综上，答案依次为$(1)$$-45 + 6\sqrt{5}$；$(2)$$-\frac{2}{3}$。

1. 下列计算正确的是(B).

A.$(2\sqrt{2})^{2}= 4\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}×\sqrt{5}= \sqrt{10}$
C.$2+\sqrt{3}= 2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{12}÷\sqrt{3}= 4$

答案： B

2. 估计$\sqrt{\dfrac{1}{3}}×(\sqrt{27}+\sqrt{6})$的值应在(A).
A.4到5之间
B.3到4之间
C.2到3之间
D.1到2之间

答案： A

3. 设$M= \left(\sqrt{\dfrac{1}{ab}}-\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)\cdot\sqrt{ab}$,其中$a = 3$,$b = 2$,则$M$的值为(B).
A.2
B.-2
C.1
D.-1

答案： B

4. 已知$\triangle ABC的两边的长分别为2\sqrt{5}$,$5\sqrt{5}$,则$\triangle ABC$的周长不可能是(A).
A.$10\sqrt{5}$
B.$11\sqrt{5}$
C.$12\sqrt{5}$
D.$13\sqrt{5}$

答案： A

5. 计算:$(\sqrt{8}+\sqrt{18})÷\sqrt{2}=$5.

答案： 5

6. 规定新运算$(a*b)= |a - b|$,其中$a$,$b$为实数,则$(\sqrt{7}*3)+\sqrt{7}= $3.

答案： 3

7. 如图,将长方形分成4个区域,其中①②两个正方形区域的面积分别是1和7,则剩余区域的面积是$\sqrt7-1$.

答案： $\sqrt7-1$　　

8. 教师节就要到了,李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺,其中一张面积为$288\ cm^{2}$,另一张面积为$338\ cm^{2}$.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮,她现在有$1.5\ m$长的彩带,请你帮忙算一算她的彩带够不够用.

答案： 解：
1. 首先求正方形贺卡的边长：
设面积为$S_1 = 288cm^{2}$的正方形边长为$a_1$，根据正方形面积公式$S=a^{2}$（$a$为边长），则$a_1=\sqrt{288}=\sqrt{144×2}=12\sqrt{2}cm$。
设面积为$S_2 = 338cm^{2}$的正方形边长为$a_2$，则$a_2=\sqrt{338}=\sqrt{169×2}=13\sqrt{2}cm$。
2. 然后求两张贺卡的周长之和：
根据正方形周长公式$C = 4a$（$C$为周长，$a$为边长），两张贺卡的周长之和$C=4a_1 + 4a_2$。
把$a_1 = 12\sqrt{2}$，$a_2 = 13\sqrt{2}$代入可得：$C=4×12\sqrt{2}+4×13\sqrt{2}=(48\sqrt{2}+52\sqrt{2})=(48 + 52)\sqrt{2}=100\sqrt{2}cm$。
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$C\approx100×1.414 = 141.4cm$。
3. 最后进行单位换算并比较：
已知彩带长$1.5m$，因为$1m = 100cm$，所以$1.5m=1.5×100 = 150cm$。
由于$141.4\lt150$。
答：她的彩带够用。