《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

4. 若点 $A(m + 2,3)$ 与点 $B(-4,n + 5)$ 关于 $y$ 轴对称,则 $m + n$ 的值为(C)。
A.$4$
B.$-4$
C.$0$
D.$2$

答案： C

5. 已知点 $M(2n - m,5)$ 和 $N(13,m)$ 关于 $x$ 轴对称,则 $(m + n)^{2024}$ 的值为 1。

答案： 1

6. 已知点 $A$ 的坐标为 $(m,n)$,它关于 $x$ 轴的对称点是点 $A_1$,点 $A_1$ 关于 $y$ 轴的对称点是点 $A_2$,点 $A_2$ 的坐标是 $(-3,2)$,则 $m^n$ 的值为 $\frac{1}{9}$。

答案： $\frac{1}{9}$

7. 如图,在平面直角坐标系中,若等边 $\triangle OBC$ 的顶点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标是 $(1,-\sqrt{3})$,则 $\triangle OBC$ 的周长为 6。

答案： 6

8. 如图,在平面直角坐标系中,已知 $A(0,1)$,$B(2,0)$,$C(4,3)$。
(1)在平面直角坐标系中画出 $\triangle ABC$,并求 $\triangle ABC$ 的面积。
(2)若点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称,则点 $D$ 的坐标为 ______。
(3)已知 $P$ 为 $y$ 轴上一点,若 $\triangle ACP$ 的面积为 $10$,求点 $P$ 的坐标。

答案：
解:△ABC如图所示:
　　　　　
过点C作CD⊥x轴于点D,
则OA=1,OB=2,CD=3,OD=4,
∴BD=OD - OB=4 - 2=2,
∴$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}×1×2=1$,
$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot CD=\frac{1}{2}×2×3=3$.
∵$S_{梯形OACD}=\frac{1}{2}(OA+CD)\cdot OD=\frac{1}{2}×(1+3)×4=8$,
∴$S_{\triangle ABC}=S_{梯形OACD}-S_{\triangle OAB}-S_{\triangle BCD}=8 - 1 - 3=4$.
(2)
∵点D与点C关于x轴对称,点C为(4,3),
∴点D的坐标为(4,-3).
故答案为(4,-3).
(3)
∵点P为y轴上一点,
∴设点P的坐标为(0,a),
则PA=|a - 1|.
∵△ACP的面积为10,
∴$\frac{1}{2}|a - 1|×4=10$,
∴|a - 1|=5,
∴a - 1=5或a - 1=-5,
由a - 1=5,解得a=6;
由a - 1=-5,解得a=-4.
故点P的坐标为(0,6)或(0,-4).

9. 如图,$\triangle ABC$ 的 $3$ 个顶点的坐标分别为 $A(2,4)$,$B(1,1)$,$C(3,2)$。
(1)请作出 $\triangle ABC$ 关于 $x$ 轴对称的 $\triangle A_1B_1C_1$,并写出 $\triangle A_1B_1C_1$ 的 $3$ 个顶点的坐标：$A_1$ ______,$B_1$ ______,$C_1$ ______。
(2)计算 $\triangle A_1B_1C_1$ 的面积。
(3)若 $P$ 为 $y$ 轴上一点,求作点 $P$,使 $\triangle PAB$ 的周长最短(保留作图痕迹),并直接写出点 $P$ 的坐标。

答案：
解:
(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求,其中A₁(2,-4),B₁(1,-1),C₁(3,-2).

故答案为(2,-4),(1,-1),(3,-2).
(2)△A₁B₁C₁的面积为2×3-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{5}{2}$.
(3)如图,点P即为所求,其坐标为(0,2).

10. 在平面直角坐标系中,已知点 $Q(4 - 2n,n - 1)$。
(1)若点 $Q$ 在 $y$ 轴上,请直接写出点 $Q$ 关于 $x$ 轴的对称点 $P$ 的坐标。
(2)若点 $Q$ 到两坐标轴的距离相等,求点 $Q$ 的坐标。

答案： 解:
(1)
∵点Q在y轴上,
∴4 - 2n=0,
∴n=2,
∴Q(0,1),
∴点Q关于x轴的对称点P的坐标为(0,-1).
(2)
∵点Q到两坐标轴的距离相等,
∴|4 - 2n|=|n - 1|,
∴4 - 2n=n - 1或4 - 2n=1 - n,
∴n=$\frac{5}{3}$或n=3,
∴Q($\frac{2}{3}$,$\frac{2}{3}$)或Q(-2,2).