《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

1. 二次根式的有关概念
一般地,形如$\sqrt{a}$($a\geq0$)的式子叫作二次根式,$a$叫作被开方数.

答案： $\sqrt{a}$

2. 二次根式的乘法法则
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=$$\sqrt{ab}$($a\geq0,b\geq0$).

答案： $\sqrt{ab}$

3. 二次根式的除法法则
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=$$\sqrt{\frac{a}{b}}$($a\geq0,b＞0$).

答案： $\sqrt{\frac{a}{b}}$

1. 下列式子哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
$\sqrt{2},\sqrt[3]{3},\frac{1}{x},\sqrt{x}(x＞0),\sqrt{0},\sqrt[4]{2},\sqrt{a^2},\frac{1}{x+y}$

答案： 二次根式是形如$\sqrt{a}(a\geq0)$的式子。
- **判断$\sqrt{2}$：
因为$2\gt0$，满足二次根式的形式$\sqrt{a}(a\geq0)$，所以$\sqrt{2}$是二次根式。
- **判断$\sqrt[3]{3}$：
根指数是$3$，不是二次根式（二次根式根指数是$2$），所以$\sqrt[3]{3}$不是二次根式。
- **判断$\frac{1}{x}$：
它是分式，不满足二次根式的形式$\sqrt{a}(a\geq0)$，所以$\frac{1}{x}$不是二次根式。
- **判断$\sqrt{x}(x\gt0)$：
因为$x\gt0$，满足二次根式的形式$\sqrt{a}(a\geq0)$，所以$\sqrt{x}(x\gt0)$是二次根式。
- **判断$\sqrt{0}$：
因为$0\geq0$，满足二次根式的形式$\sqrt{a}(a\geq0)$，所以$\sqrt{0}$是二次根式。
- **判断$\sqrt[4]{2}$：
根指数是$4$，不是二次根式（二次根式根指数是$2$），所以$\sqrt[4]{2}$不是二次根式。
- **判断$\sqrt{a^2}$：
因为$a^2\geq0$，满足二次根式的形式$\sqrt{a}(a\geq0)$，所以$\sqrt{a^2}$是二次根式。
- **判断$\frac{1}{x + y}$：
它是分式，不满足二次根式的形式$\sqrt{a}(a\geq0)$，所以$\frac{1}{x + y}$不是二次根式。
综上，二次根式有$\sqrt{2}$，$\sqrt{x}(x\gt0)$，$\sqrt{0}$，$\sqrt{a^2}$；不是二次根式的有$\sqrt[3]{3}$，$\frac{1}{x}$，$\sqrt[4]{2}$，$\frac{1}{x + y}$。

2. 计算下列题.
(1)$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{24}$
(2)$\sqrt{2\frac{2}{3}}÷\sqrt{1\frac{1}{3}}$
(3)$6\sqrt{1\frac{3}{5}}÷2\sqrt{2}×(-\frac{1}{2}\sqrt{60})$

答案： 1. （1）
解：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$，则$\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{24}=\sqrt{\frac{1}{2}×24}$。
计算$\frac{1}{2}×24 = 12$，所以$\sqrt{\frac{1}{2}×24}=\sqrt{12}$。
再将$\sqrt{12}$化简，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$。
2. （2）
解：先将带分数化为假分数，$2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$，$1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$。
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，则$\sqrt{2\frac{2}{3}}÷\sqrt{1\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}÷\frac{4}{3}}$。
因为$\frac{8}{3}÷\frac{4}{3}=\frac{8}{3}×\frac{3}{4}=2$，所以$\sqrt{\frac{8}{3}÷\frac{4}{3}}=\sqrt{2}$。
3. （3）
解：先将带分数化为假分数，$1\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$。
则$6\sqrt{1\frac{3}{5}}÷2\sqrt{2}×(-\frac{1}{2}\sqrt{60})=6\sqrt{\frac{8}{5}}÷2\sqrt{2}×(-\frac{1}{2}\sqrt{60})$。
根据二次根式乘除法则$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，先计算$6\sqrt{\frac{8}{5}}÷2\sqrt{2}$：
$6\sqrt{\frac{8}{5}}÷2\sqrt{2}=(6÷2)\sqrt{\frac{8}{5}÷2}=3\sqrt{\frac{8}{5}×\frac{1}{2}}$。
计算$\frac{8}{5}×\frac{1}{2}=\frac{4}{5}$，所以$3\sqrt{\frac{8}{5}×\frac{1}{2}} = 3\sqrt{\frac{4}{5}}$。
再计算$3\sqrt{\frac{4}{5}}×(-\frac{1}{2}\sqrt{60})$：
根据$a\sqrt{m}\cdot b\sqrt{n}=ab\sqrt{mn}$，则$3\sqrt{\frac{4}{5}}×(-\frac{1}{2}\sqrt{60})=[3×(-\frac{1}{2})]\sqrt{\frac{4}{5}×60}$。
计算$\frac{4}{5}×60 = 48$，所以$[3×(-\frac{1}{2})]\sqrt{\frac{4}{5}×60}=-\frac{3}{2}\sqrt{48}$。
化简$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，则$-\frac{3}{2}\sqrt{48}=-\frac{3}{2}×4\sqrt{3}$。
计算$-\frac{3}{2}×4\sqrt{3}=-6\sqrt{3}$。
综上，答案依次为：（1）$2\sqrt{3}$；（2）$\sqrt{2}$；（3）$-6\sqrt{3}$。

1. 下列各式中,一定是二次根式的是(A).
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{m}$
C.$\sqrt[3]{2}$
D.$\sqrt{-20}$

答案： A

2. 下列运算正确的是(D).

A.$\sqrt{2}×\sqrt{6}= 12$
B.$8\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{16}}= 1$
C.$(\sqrt{-3})^2= -3$
D.$\sqrt{12}÷\sqrt{\frac{4}{3}}= 3$

答案： D

3. 计算$\sqrt{15}÷4\sqrt{3}×\sqrt{\frac{6}{5}}$的结果为(C).
A.1
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{4}\sqrt{6}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： C

4. 计算:$\sqrt{40}÷\sqrt{5}=$$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt2$　　

5. 要挖一个长为$\sqrt{12}$m、宽为$\sqrt{8}$m、蓄水量为24m^3的长方体水池,则该水池的深度应为$\sqrt6$m.

答案： $\sqrt6$　　

6. 计算下列题.
(1)$\frac{3}{2}\sqrt{24}\cdot\frac{2}{3}\sqrt{18}$
(2)$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{6}}$
(3)$\sqrt{1\frac{1}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{6}}$
(4)$\sqrt{75}÷(\sqrt{6}×\sqrt{12})$

答案： 1. （1）
解：
先化简$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$。
则$\frac{3}{2}\sqrt{24}\cdot\frac{2}{3}\sqrt{18}=\frac{3}{2}×2\sqrt{6}\cdot\frac{2}{3}×3\sqrt{2}$。
约分可得$3\sqrt{6}\cdot2\sqrt{2}$。
根据$a\sqrt{m}\cdot b\sqrt{n}=ab\sqrt{mn}$，则$3\sqrt{6}\cdot2\sqrt{2}=6\sqrt{12}$。
再化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，所以$6\sqrt{12}=6×2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$。
2. （2）
解：
根据$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，则$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{72}{6}}$。
因为$\frac{72}{6}=12$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$。
3. （3）
解：
先将$1\frac{1}{2}$化为$\frac{3}{2}$，则$\sqrt{1\frac{1}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{6}}$。
根据$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，则$\sqrt{\frac{3}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}÷\frac{1}{6}}$。
又因为$\frac{3}{2}÷\frac{1}{6}=\frac{3}{2}×6 = 9$，所以$\sqrt{\frac{3}{2}÷\frac{1}{6}}=\sqrt{9}=3$。
4. （4）
解：
先化简$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{6}×\sqrt{12}=\sqrt{6×12}=\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=6\sqrt{2}$。
则$\sqrt{75}÷(\sqrt{6}×\sqrt{12})=5\sqrt{3}÷6\sqrt{2}$。
根据$a\sqrt{m}÷ b\sqrt{n}=\frac{a}{b}\sqrt{\frac{m}{n}}(a,b\neq0,m\geq0,n ＞ 0)$，$5\sqrt{3}÷6\sqrt{2}=\frac{5}{6}\sqrt{\frac{3}{2}}$。
分母有理化，$\frac{5}{6}\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{5}{6}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{5}{6}×\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{6}}{12}$。
综上，答案依次为：（1）$12\sqrt{3}$；（2）$2\sqrt{3}$；（3）$3$；（4）$\frac{5\sqrt{6}}{12}$。