《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

1. 最简二次根式
一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫作最简二次根式。

答案： 分母；开得尽方

2. 二次根式的性质
(1) $\sqrt{a^{2}}=$ $|a|$；
(2) $\sqrt{ab}=$ $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ $(a\geqslant0,b\geqslant0)$；
(3) $\sqrt{\frac{a}{b}}=$ $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $(a\geqslant0,b＞0)$。

答案：
(1) $|a|$
(2) $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
(3) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

1. 下列式子哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？为什么？
$\sqrt{15}$,$\sqrt{24}$,$\sqrt{27ab}$,$\sqrt{4x^{2}+y^{2}}$,$\sqrt{\frac{3}{2}}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sqrt{m^{4}+m^{2}}$,$\frac{x}{\sqrt{2}}$
[知识点2]二次根式的性质及化简

答案： 解:只有√15,√(4x²+y²),√3/2是最简二次根式.√24含有能开尽方的数,√(27ab)含有能开尽方的数,√(3/2)的被开方数不是整数,√(m⁴+m²)含有能开尽方的因式,x/√2的分母中含有根号.

2. 化简下列二次根式。
(1) $\sqrt{32}$ (2) $\sqrt{1.5}$
(3) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ (4) $\frac{5n}{3\sqrt{n}}(n＞0)$

答案： 1. （1）
解：$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}$
根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，这里$a = 16$，$b = 2$，则$\sqrt{16×2}=\sqrt{16}×\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{16}=4$，所以$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
2. （2）
解：$\sqrt{1.5}=\sqrt{\frac{3}{2}}$
根据$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，则$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$。
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
3. （3）
解：$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$，根据$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，这里$a = 3$，$b = 5$。
则$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$。
4. （4）
解：$\frac{5n}{3\sqrt{n}}(n ＞ 0)$
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{n}$，根据$\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}(a\in R,b ＞ 0)$，这里$a = 5n$，$b = n$。
则$\frac{5n×\sqrt{n}}{3\sqrt{n}×\sqrt{n}}=\frac{5n\sqrt{n}}{3n}$。
因为$n＞0$，约分可得$\frac{5\sqrt{n}}{3}$。
综上，（1）$4\sqrt{2}$；（2）$\frac{\sqrt{6}}{2}$；（3）$\frac{\sqrt{15}}{5}$；（4）$\frac{5\sqrt{n}}{3}$。

1. 化简$\sqrt{18}$的结果为(C)。
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$9\sqrt{2}$

答案： C

2. 下列二次根式为最简二次根式的是(D)。
A.$\sqrt{0.3}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{\frac{1}{3}}$
D.$\sqrt{6}$

答案： D

3. 一个直角三角形斜边的长为$15cm$,一条直角边的长为$10cm$,则另一条直角边的长为(C)。
A.$\sqrt{5}cm$
B.$5cm$
C.$5\sqrt{5}cm$
D.$10cm$

答案： C

4. 当$x＜3$时,$\sqrt{(x - 3)^{2}}= $3-x。

答案： 3-x

5. 若二次根式$\sqrt{5a + 3}$是最简二次根式,则最小的正整数$a$为2。

答案： 2

6. 化简。
(1) $\sqrt{12}$ (2) $\sqrt{(-16)×(-2)}$
(3) $\sqrt{\frac{-3}{-25}}$ (4) $\frac{4}{\sqrt{5}}$

答案： 1. （1）
解：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}$
根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，这里$a = 4$，$b = 3$，则$\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{4}=2$，所以$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
2. （2）
解：$\sqrt{(-16)×(-2)}=\sqrt{16×2}$
根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，这里$a = 16$，$b = 2$，则$\sqrt{16×2}=\sqrt{16}×\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{16}=4$，所以$\sqrt{(-16)×(-2)} = 4\sqrt{2}$。
3. （3）
解：$\sqrt{\frac{-3}{-25}}=\sqrt{\frac{3}{25}}$
根据$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，这里$a = 3$，$b = 25$，则$\sqrt{\frac{3}{25}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{25}}$。
因为$\sqrt{25}=5$，所以$\sqrt{\frac{-3}{-25}}=\frac{\sqrt{3}}{5}$。
4. （4）
解：$\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$
根据分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$，所以$\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
综上，（1）$2\sqrt{3}$；（2）$4\sqrt{2}$；（3）$\frac{\sqrt{3}}{5}$；（4）$\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

7. 已知$y= \sqrt{3 - x}+\sqrt{x - 3}-2$,求$x^{y}$的值。

答案： 解:由题意得3-x≥0,且x-3≥0,解得x≤3,且x≥3,所以x=3,则y=-2,所以xʸ=3⁻²=1/9.