《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

9.在解方程组时,由于粗心,甲看
错了方程组中的α,解得'乙看错了方程组中的b,解得求原方程组的正确解.

答案： 解：
- **步骤一：根据甲、乙的解求出$a$、$b$的值
因为甲看错了方程组中的$a$，但$b$是正确的，所以将$\begin{cases}x = - 3\\y = - 1\end{cases}$代入$4x - by = - 2$可得：
$4×(-3)-b×(-1)=-2$，即$-12 + b = - 2$，解得$b = 10$。
因为乙看错了方程组中的$b$，但$a$是正确的，所以将$\begin{cases}x = 5\\y = 4\end{cases}$代入$ax + 5y = 15$可得：
$5a + 5×4 = 15$，即$5a+20 = 15$，$5a=15 - 20=-5$，解得$a=-1$。
- **步骤二：将$a$、$b$的值代入原方程组求解
将$a = - 1$，$b = 10$代入原方程组$\begin{cases}ax + 5y = 15\\4x - by = - 2\end{cases}$，得到$\begin{cases}-x + 5y = 15&(1)\\4x - 10y = - 2&(2)\end{cases}$。
由$(1)$式可得$x = 5y - 15$，将其代入$(2)$式：
$4×(5y - 15)-10y = - 2$，
$20y-60 - 10y = - 2$，
$10y = 60 - 2 = 58$，
解得$y=\frac{29}{5}$。
把$y=\frac{29}{5}$代入$x = 5y - 15$，得$x = 5×\frac{29}{5}-15=29 - 15 = 14$。
所以原方程组的正确解是$\begin{cases}x = 14\\y=\frac{29}{5}\end{cases}$。

10.已知方程组和方程组的
解相同,求m,n的值.

答案： 解：
先解方程组$\begin{cases}2x + y = 3 \\x + y = 1\end{cases}$
用$2x + y = 3$减去$x + y = 1$，可得：
$(2x + y)-(x + y)=3 - 1$
$2x + y - x - y = 2$
$x = 2$
把$x = 2$代入$x + y = 1$，得$2 + y = 1$，解得$y=-1$。
因为两个方程组解相同，把$x = 2$，$y = - 1$代入$\begin{cases}2x+my = 2 \\nx + y = 1\end{cases}$
得到$\begin{cases}2×2+m×(-1)=2 \\n×2+( - 1)=1\end{cases}$
即$\begin{cases}4 - m = 2 \\2n - 1 = 1\end{cases}$
解$4 - m = 2$，得$m = 4 - 2=2$
解$2n - 1 = 1$，$2n=1 + 1$，$n = 1$
所以$m = 2$，$n = 1$。

答案： $(1)$ 解方程组$\begin{cases}2x - 3y = 5&①\\6x - 11y = 9&②\end{cases}$
解：
将②变形为$6x - 9y - 2y = 9$，即$3(2x - 3y)-2y = 9$ ③。
把①代入③，得$3×5 - 2y = 9$，
即$15 - 2y = 9$，
移项可得$-2y=9 - 15$，
即$-2y=-6$，
解得$y = 3$。
把$y = 3$代入①，得$2x-3×3 = 5$，
即$2x - 9 = 5$，
移项可得$2x=5 + 9$，
即$2x = 14$，
解得$x = 7$。
所以，方程组的解为$\begin{cases}x = 7\\y = 3\end{cases}$。
$(2)$ 求$x^{2}+4y^{2}-xy$的值
解：
由$3x^{2}-2xy + 12y^{2}=47$可得$3(x^{2}+4y^{2})-2xy = 47$ ④；
由$2x^{2}+xy + 8y^{2}=36$可得$2(x^{2}+4y^{2})+xy = 36$ ⑤。
设$x^{2}+4y^{2}=m$，$xy = n$，则方程组变为$\begin{cases}3m - 2n = 47&⑥\\2m + n = 36&⑦\end{cases}$。
由⑦可得$n = 36 - 2m$ ⑧。
把⑧代入⑥得：$3m-2(36 - 2m)=47$，
去括号得$3m-72 + 4m = 47$，
移项合并同类项得$7m=47 + 72$，
即$7m = 119$，
解得$m = 17$。
把$m = 17$代入⑧得：$n = 36-2×17=36 - 34 = 2$。
因为$x^{2}+4y^{2}-xy=m - n$，把$m = 17$，$n = 2$代入可得：$x^{2}+4y^{2}-xy=17 - 2=15$。
综上，$(1)$方程组的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 7\\y = 3\end{cases}}$；$(2)$$x^{2}+4y^{2}-xy$的值为$\boldsymbol{15}$。