《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

9. 已知$x= \sqrt{3}+1$,$y= \sqrt{3}-1$,试求$x^{2}+2xy+y^{2}$的值.

答案： 解：
因为$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^{2}$，
将$x = \sqrt{3}+1$，$y = \sqrt{3}-1$代入$x + y$得：
$x + y=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$，
所以$(x + y)^{2}=(2\sqrt{3})^{2}=12$。
故$x^{2}+2xy + y^{2}$的值为$12$。

10. 在探究学习中,数学小组成员遇到这样一个问题:已知$a= \dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$,求$2a^{2}-8a+1$的值.
经过思考,他们是这样解答的:
$\because\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}= \dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}= 2-\sqrt{3}$,
$a - 2= -\sqrt{3}$,$\therefore(a - 2)^{2}= 3$,即$a^{2}-4a+4= 3$,
$\therefore a^{2}-4a= -1$,
$\therefore2a^{2}-8a+1= 2(a^{2}-4a)+1= 2×(-1)+1= -1$.
请你根据探究小组的解题方法解答以下问题:
(1)$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=$$\sqrt{3}-\sqrt{2}$;
(2)计算:$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{98}}$;
$3\sqrt{11}-1$
(3)若$a= \dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$,求$2a^{4}-8a^{3}-8a+4$的值.
$6$

答案： $(1)$ 计算$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$的值
根据分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}-\sqrt{2}$：
$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3 - 2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
$(2)$ 计算$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{98}}$的值
对每一项进行分母有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$；
$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$；
$\cdots$
$\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{98}}=\sqrt{99}-\sqrt{98}$。
然后进行计算：
$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{98}}$
$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{99}-\sqrt{98})$
$=\sqrt{99}-1=3\sqrt{11}-1$。
$(3)$ 计算$2a^{4}-8a^{3}-8a + 4$的值（已知$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$）
先对$a$进行分母有理化：
$a=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$，则$a - 2=\sqrt{5}$。
两边平方可得：$(a - 2)^{2}=5$，即$a^{2}-4a+4 = 5$，所以$a^{2}-4a=1$。
对$2a^{4}-8a^{3}-8a + 4$进行变形：
$2a^{4}-8a^{3}-8a + 4=2a^{2}(a^{2}-4a)-8a + 4$。
把$a^{2}-4a = 1$代入上式得：
$2a^{2}×1-8a + 4=2(a^{2}-4a)+4$。
再把$a^{2}-4a = 1$代入$2(a^{2}-4a)+4$得：
$2×1+4=6$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$；$(2)$$\boldsymbol{3\sqrt{11}-1}$；$(3)$$\boldsymbol{6}$。

11. 如图,小正方形的边长为1,连接小正方形的顶点得到$\triangle ABC$.
(1)$\triangle ABC$的周长是多少?
(2)$BC$边上的高是多少?(结果用最简二次根式表示.)

答案： 1. （1）
首先，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）求$AB$，$BC$，$AC$的长度：
对于$AB$：
由图可知，$AB$所在的直角三角形的两直角边分别为$2$和$2$，则$AB = \sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4 + 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
对于$BC$：
$BC$所在的直角三角形的两直角边分别为$1$和$3$，则$BC=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$。
对于$AC$：
$AC$所在的直角三角形的两直角边分别为$1$和$3$，则$AC=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$。
然后，求$\triangle ABC$的周长$C$：
$C=AB + BC+AC$，将$AB = 2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{10}$，$AC=\sqrt{10}$代入得$C=2\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{10}=2\sqrt{2}+2\sqrt{10}$。
2. （2）
先求$\triangle ABC$的面积$S$：
用大正方形的面积减去三个直角三角形的面积来求$\triangle ABC$的面积。大正方形边长为$3$，其面积$S_{大}=3×3 = 9$。
三个直角三角形的面积分别为：$S_{1}=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，$S_{2}=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，$S_{3}=\frac{1}{2}×2×2 = 2$。
则$S_{\triangle ABC}=9-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}-2$。
$S_{\triangle ABC}=9-( \frac{3 + 3}{2})-2=9 - 3-2=4$。
再根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = BC$，$h$为$BC$边上的高）求$BC$边上的高$h$：
已知$S = 4$，$a=BC=\sqrt{10}$，由$S=\frac{1}{2}ah$可得$h=\frac{2S}{a}$。
把$S = 4$，$a=\sqrt{10}$代入得$h=\frac{2×4}{\sqrt{10}}=\frac{8}{\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}{10}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$。
综上，（1）$\triangle ABC$的周长是$2\sqrt{2}+2\sqrt{10}$；（2）$BC$边上的高是$\frac{4\sqrt{10}}{5}$。