《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

9. 某台阶的一部分如图所示,并且每级台阶的宽等于高.请你在图中建立适当的平面直角坐标系,使点C的坐标为(0,0),点D的坐标为(2,2).
(1)直接写出点A,E,F的坐标.
(2)如果台阶有10级(第11个点用M表示),请你求出该台阶的高度和线段AM的长度.

答案：
解:
(1)建立的平面直角坐标系如图所示.
∵每级台阶的宽等于高,
∴A为(-4,-4),E为(4,4),F为(6,6).

(2)台阶的长度为2×(10 + 1)=22,
高度为2×10 = 20.
根据勾股定理得$AM=\sqrt{22^{2}+20^{2}}=2\sqrt{221}$.

10. 如图,在平面直角坐标系中,第1次将△OAB变换成$△OA_1B_1,$第2次将$△OA_1B_1$变换成$△OA_2B_2,$第3次将$△OA_2B_2$变换成$△OA_3B_3,…$已知$A(1,3),A_1(2,3),A_2(4,3),A_3(8,3),…,B(2,0),B_1(4,0),B_2(8,0),B_3(16,0),….$
(1)观察每次变换前后的三角形有何不同,找出规律,按此变换规律将$△OA_3B_3$变换成$△OA_4B_4,$则$A_4$的坐标是(16,3).
(2)若按(1)中找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到△OAₙBₙ,比较每次变换中三角形顶点坐标的变化规律,推测:Aₙ的坐标是$(2^{n},3)$,Bₙ的坐标是$(2^{n + 1},0)$.

答案：
(1)(16,3)　
(2)$(2^{n},3)$ $(2^{n + 1},0)$

11. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,a),B(b,0),C(3,c),且a,b,c满足关系式|a-2|$+(b-3)^2+\sqrt{c-4}= 0.$
(1)求a,b,c的值.
(2)求四边形AOBC的面积.
(3)是否存在点$P(x,-\frac{1}{2}x),$使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： 解:
(1)
∵$|a - 2|+(b - 3)^{2}+\sqrt{c - 4}=0$,
∴a - 2 = 0,b - 3 = 0,c - 4 = 0,
∴a = 2,b = 3,c = 4.
(2)
∵A(0,2),O(0,0),B(3,0),C(3,4);
∴四边形AOBC为直角梯形,
且OA = 2,BC = 4,OB = 3,
∴四边形AOBC的面积为$\frac{1}{2}(OA + BC)\cdot OB=\frac{1}{2}×(2 + 4)×3 = 9$.
(3)设存在点$P(x,-\frac{1}{2}x)$,使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍.理由如下:
∵△AOP的面积为$\frac{1}{2}×2|x| = |x|$,
∴|x| = 2×9,
解得x = ±18,
∴存在点P(18,-9)或(-18,9),使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍.