《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

7. (1)用计算器计算：
$\sqrt{11 - 2}=$3,
$\sqrt{1111 - 22}=$33,
$\sqrt{111111 - 222}=$333,
$\sqrt{11111111 - 2222}=$3333.
(2)观察题(1)中各式的计算结果,你能发现什么规律？
(3)由发现的规律可知$\sqrt{1111111111 - 22222}=$33333,通过计算器验证你的猜想.

答案： 7.解:
(1)3 33 333 3 333
(2)根号内被开方数是2n个数字1和n个数字2的差,结果为n个数字3.
(3)33 333

1. 利用计算器求$\sqrt{0.059}$的值,正确的结果为(D)(精确到0.001).
A.-0.389
B.0.399
C.±0.389
D.0.389

答案： D

2. 某计算器上有$x^{2}$ $\frac{1}{x}$ $\sqrt{x}$ 3个按键,以下是3个按键的功能：第1个键,将荧幕显示的数变成它的算术平方根；第2个键,将荧幕显示的数变成它的倒数；第3个键,将荧幕显示的数变成它的平方.小宇输入一个数据后,按照如图所示步骤操作,依次按照从第1步到第3步循环按键,若一开始输入的数据为10,则第2022步之后,计算器显示的结果是(D).


A.100
B.1
C.0.01
D.10

答案： D

3. 一个简单的数值运算程序如图所示,当输入x的值为16时,输出的数值为3.

答案： 3

4. 用计算器比较大小：$\sqrt[3]{15}-\sqrt{6}$＞0(填“＞”“=”或“＜”).

答案： ＞

5. 把棱长分别为2.15cm,3.24cm的两个正方体铁块熔化后制成一个大的正方体铁块,这个大正方体铁块的棱长为多少？(用计算器计算,最后结果精确到小数点后一位.)

答案： 5.解:设这个大正方体铁块的棱长为x cm,根据题意,熔化前后总体积不变,则可列式$x^{3}=2.15^{3}+3.24^{3}$,解得x≈3.5.答:这个大正方体铁块的棱长为3.5 cm.

6. 当人造地球卫星的运行速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度时,它能环绕地球运行.已知第一宇宙速度的公式是$v_{1}= \sqrt{gR}$,第二宇宙速度的公式是$v_{2}= \sqrt{2gR}$,其中$g = 9.8m/s^{2},R = 6.4×10^{6}m$.试求第一、第二宇宙速度.

答案： 6.解:将g=9.8,R=6.4×10⁶分别代入$v_{1}=\sqrt{gR}$,$v_{2}=\sqrt{2gR}$,可得$v_{1}=\sqrt{gR}=\sqrt{9.8×6.4×10^{6}}=\sqrt{62.72×10^{6}}≈7.9×10^{3}(m/s)$,$v_{2}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×9.8×6.4×10^{6}}=\sqrt{125.44×10^{6}}=\sqrt{1.2544×10^{8}}=1.12×10^{4}(m/s)$.答:第一宇宙速度为7.9×10³ m/s,第二宇宙速度为1.12×10⁴ m/s.

7. (1)利用计算器将下列数用“＜”连接起来：
$\sqrt{1}+\sqrt{12},\sqrt{2}+\sqrt{11},\sqrt{3}+\sqrt{10},\sqrt{4}+\sqrt{9},\sqrt{5}+\sqrt{8},\sqrt{6}+\sqrt{7}$.
(2)上面各数有什么共同特征？由此能得出什么结论？
(3)利用(2)中的结论猜想$\sqrt{a}-\sqrt{a - 1}与\sqrt{a + 1}-\sqrt{a}$的大小,选择一些具体的数代入验证这个猜想.

答案： 7.解:
(1)$\sqrt{1}+\sqrt{12}＜\sqrt{2}+\sqrt{11}＜\sqrt{3}+\sqrt{10}＜\sqrt{4}+\sqrt{9}＜\sqrt{5}+\sqrt{8}＜\sqrt{6}+\sqrt{7}$.
(2)共同特征:它们都是两个数的算术平方根的和的形式,而且两根号内数的和都是13.结论:当根号内两数的和相等,且越来越接近时,两算术平方根的和越来越大.
(3)猜想:$\sqrt{a}-\sqrt{a - 1}＞\sqrt{a + 1}-\sqrt{a}$.理由:$(\sqrt{a}-\sqrt{a - 1})-(\sqrt{a + 1}-\sqrt{a})=\sqrt{a}-\sqrt{a - 1}-\sqrt{a + 1}+\sqrt{a}=(\sqrt{a}+\sqrt{a})-(\sqrt{a - 1}+\sqrt{a + 1})$,由
(2)可知$(\sqrt{a}+\sqrt{a})-(\sqrt{a - 1}+\sqrt{a + 1})＞0$,所以$\sqrt{a}-\sqrt{a - 1}＞\sqrt{a + 1}-\sqrt{a}$.验证:当a=3时,$\sqrt{a}-\sqrt{a - 1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}≈0.32$,$\sqrt{a + 1}-\sqrt{a}=\sqrt{4}-\sqrt{3}≈0.27$,满足上述结论;当a=5时,$\sqrt{a}-\sqrt{a - 1}=\sqrt{5}-\sqrt{4}≈0.24$,$\sqrt{a + 1}-\sqrt{a}=\sqrt{6}-\sqrt{5}≈0.21$,满足上述结论.(选择一些具体的数代入验证这个猜想即可.)