《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

1. 下列方程属于二元一次方程的是(D).
A.$x^2 + y^2 = 3$
B.$3x + \dfrac{3}{y} = 4$
C.$x + 2y + 3z = 7$
D.$2x + 3y = 0$

答案： D

2. 若 $ax + 4y = 3x - 7$ 是二元一次方程,则 $a$ 的取值范围是(C).
A.$a eq -2$
B.$a eq 0$
C.$a eq 3$
D.$a eq -1$

答案： C

3. 已知 4 辆板车和 5 辆卡车一次共运 31 吨货,10 辆板车和 3 辆卡车一次能运的货相当,若设每辆板车每次可运 $x$ 吨货,每辆卡车每次运 $y$ 吨货,则可列方程组(B).
A.$\begin{cases}10x + 5y = 31, \\4x = 3y\end{cases} $
B.$\begin{cases}4x + 5y = 31, \\10x - 3y = 0\end{cases} $
C.$\begin{cases}4x = 5y, \\10x + 3y = 31\end{cases} $
D.$\begin{cases}4x + 31 = 5y, \\10x = 3y\end{cases} $

答案： B

4. 已知方程 $2x^{m - 1} - 3y^{2 - n} = 0$ 是二元一次方程,则 $m + n = $4.

答案： 4

5. 已知 $2x^{n - 3} - \dfrac{1}{3}y^{2m + 1} = 0$ 是关于 $x,y$ 的二元一次方程,则 $m + n = $4.

答案： 4

6. 在①$\begin{cases}x = 2, \\y = 1,\end{cases} $②$\begin{cases}x = 1, \\y = 1,\end{cases} $③$\begin{cases}x = -1, \\y = 4\end{cases} $这 3 组数值中,属于方程组 $\begin{cases}x + y = 3, \\3x + 2y = 5\end{cases} $ 的解的是③(填序号).

答案： ③

$7. $已知$ \begin{cases}x = -2, \\y = 1\end{cases} $是二元一次方程组的解$,$求$ m - n $的值$.$　　

答案： 解：因为$\begin{cases}x = -2\\y = 1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}3x + 2y = m\\nx - y = 1\end{cases}$的解，
将$x = -2$，$y = 1$代入$3x + 2y = m$得：
$3×(-2)+2×1=m$，
即$-6 + 2 = m$，
解得$m=-4$。
将$x = -2$，$y = 1$代入$nx - y = 1$得：
$-2n-1 = 1$，
移项得$-2n=1 + 1$，
即$-2n=2$，
解得$n=-1$。
所以$m - n=-4-(-1)=-4 + 1=-3$。
综上，$m - n$的值为$-3$。

8. 根据题意列二元一次方程组.
(1) 现有两批货物,第 1 批为 360 吨,用 5 节火车和 12 辆汽车正好装完；第 2 批为 500 吨,用 7 节火车和 16 辆汽车正好装完. 每节火车和每辆汽车平均各装货物多少吨？
(2) 某校课外小组的学生准备外出活动. 若每组 7 人,则余下 3 人；若每组 8 人,则有一组只有 3 人. 问：这个课外小组分成几组？共有多少人？

答案： $(1)$
设每节火车装货物$x$吨，每辆汽车装货物$y$吨。
- **根据第$1$批货物列方程：
已知第$1$批货物为$360$吨，用$5$节火车和$12$辆汽车正好装完，可得到方程$5x + 12y = 360$。
- **根据第$2$批货物列方程：
已知第$2$批货物为$500$吨，用$7$节火车和$16$辆汽车正好装完，可得到方程$7x + 16y = 500$。
所以，方程组为$\begin{cases}5x + 12y = 360\\7x + 16y = 500\end{cases}$。
$(2)$
设这个课外小组分成$x$组，共有$y$人。
- **根据“每组$7$人，则余下$3$人”列方程：
可得到方程$y = 7x + 3$。
- **根据“每组$8$人，则有一组只有$3$人”列方程：
此时总人数$y = 8(x - 1)+3$。
所以，方程组为$\begin{cases}y = 7x + 3\\y = 8(x - 1)+3\end{cases}$。
综上，答案依次为$(1)$$\boldsymbol{\begin{cases}5x + 12y = 360\\7x + 16y = 500\end{cases}}$；$(2)$$\boldsymbol{\begin{cases}y = 7x + 3\\y = 8(x - 1)+3\end{cases}}$。

1. 下列方程为二元一次方程的是(D).
A.$2x + 3 = 0$
B.$3x - y = 2z$
C.$x^2 = 3$
D.$2x - y = 5$

答案： D