《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

1. 平方根的概念
一般地,如果一个数 $ x $ 的平方等于 $ a $,即 $ x^{2} = a $,那么这个数 $ x $ 就叫作 $ a $ 的平方根(也叫作二次方根).

答案： 平方；二次

2. 平方根的表示方法
正数 $ a $ 的平方根可记作“$\pm\sqrt{a}$”,读作“正负根号$a$”.

答案： $\pm\sqrt{a}$；正负根号$a$

3. 平方根的性质
一个正数有两个平方根,它们互为相反数; $ 0 $ 只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.

答案： 两个；相反；一个；0；没有

4. 开平方
求一个数 $ a(a \geq 0) $ 的平方根的运算,叫作开平方, $ a $ 叫作被开方数.

答案： 平方根；被开方

1. 下列数有平方根和算术平方根吗? 若有,请求出来;若没有,请说明理由.
(1) $ 81 $ (2) $ (-1)^{3} $

答案： 1.解:
(1)
∵(±9)²=81＞0,有平方根和算术平方根,
∴81的平方根是±9,即±√81=±9;81的算术平方根是9,即√81=9.
(2)
∵(-1)³=-1＜0,
∴(-1)³没有平方根和算术平方根.

2. 若一个正数的两个平方根是 $ 2a + 1 $ 和 $ 4 - 3a $,则这个正数是(C).
A.$ 5 $
B.$ 25 $
C.$ 121 $
D.$ 121 $ 或 $ \frac{121}{25} $

答案： 2.C

3. 求下列式子中 $ x $ 的值.
(1) $ x^{2} = 225 $
(2) $ 81x^{2} = 49 $

答案： 3.解:
(1)
∵x²=225,
∴x=±√225=±15.
(2)
∵81x²=49,
∴x²=49/81,x=±√(49/81)=±7/9.

1. $ \sqrt{81} $ 的平方根是±3.

答案： ±3

2. 下列数没有平方根的是(D).
A.$ +(+2)^{3} $
B.$ 3^{0} $
C.$ 0 $
D.$ -(a^{2} + 1) $

答案： D

3. 已知一个正方形的边长为 $ a $,面积为 $ S $,则(C).
A.$ S = \sqrt{a} $
B.$ S $ 的平方根是 $ a $
C.$ a $ 是 $ S $ 的算术平方根
D.$ a = \pm \sqrt{S} $

答案： C

4. 如果 $ \sqrt{a} $ 的平方根等于 $ \pm 2 $,那么 $ a = $16.

答案： 16

5. 一个正数 $ x $ 的两个不同的平方根分别是 $ 2a - 5 $ 和 $ a - 7 $,则 $ x $ 的值为9.

答案： 9

6. 若 $ 9x^{2} - 16 = 0 $,则 $ x = $±4/3.

答案： ±4/3