《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

9. 在解方程组$\begin{cases}ax + 3y = - 2\ \textcircled{1},\\2x - by = 7\ \textcircled{2}\end{cases} $时,由于粗心,甲看错了方程组中的$a$,解得$\begin{cases}x = 1,\\y = - 1;\end{cases} 乙看错了方程组中的b$,解得$\begin{cases}x = 5,\\y = 1.\end{cases} $
(1)求出正确的$a$,$b$的值.
(2)求出原方程组的正确解.

答案： 9.解：
(1)依题意把{x=5,y=1代入①,得5a+3=-2,
解得a=-1,
把{x=1,y=-1代入②,得2+b=7,
解得b=5.
(2)由
(1)得a=-1,b=5,
∴原方程组为{-x+3y=-2,2x-5y=7,解得{x=11,y=3.

10. 已知一个三角形三边的长分别是$a$,$b$,$c$,其中$a和b满足方程组\begin{cases}4a + 2b - 18 = 0,\\4b - 3a + 8 = 0.\end{cases} $若这个三角形的周长为整数,求这个三角形的周长.

答案： 10.解：解方程组{4a+2b-18=0,4b-3a+8=0,得{a=4,b=1,
则4-1＜c＜4+1,即3＜c＜5.
因为三角形的周长为整数,所以c=4,
所以三角形的周长为4+1+4=9.

11. 阅读下面的材料：
例题：已知关于$x$,$y的二元一次方程组\begin{cases}3x - my = 5,\\2x + ny = 6\end{cases} 的解是\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases} 求关于a$,$b的二元一次方程组\begin{cases}3(a + b) - m(a - b) = 5,\\2(a + b) + n(a - b) = 6\end{cases} $的解.
解：设$a + b = x$,$a - b = y$,
则原方程组可化为$\begin{cases}3x - my = 5,\\2x + ny = 6.\end{cases} $
因为方程组$\begin{cases}3x - my = 5,\\2x + ny = 6\end{cases} 的解是\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases} $
所以$\begin{cases}a + b = 1\ \textcircled{1},\\a - b = 2\ \textcircled{2},\end{cases} $
$\textcircled{1}+\textcircled{2}得2a = 3$,解得$a = \frac{3}{2}$.
$\textcircled{1}-\textcircled{2}得2b = - 1$,解得$b = -\frac{1}{2}$.
所以,原方程组的解是$\begin{cases}a = \frac{3}{2},\\b = -\frac{1}{2}.\end{cases} $
请仿照以上方法解方程组$\begin{cases}x + y + 2(x - y) = 20,\\4(x + y) - 5(x - y) = 2.\end{cases} $
解：设x+y=a,x-y=b,
则原方程组可化为{a+2b=20 ①,4a-5b=2 ②.
①×4得4a+8b=80 ③,
③-②得13b=78,解得b=6.
把b=6代入①,得a=8.
所以{x+y=8 ④,x-y=6 ⑤,
④+⑤得2x=14,解得x=7.
④-⑤得2y=2,解得y=1,
所以,原方程组的解是{x=7,y=1.

答案： 11.解：设x+y=a,x-y=b,
则原方程组可化为{a+2b=20 ①,4a-5b=2 ②.
①×4得4a+8b=80 ③,
③-②得13b=78,解得b=6.
把b=6代入①,得a=8.
所以{x+y=8 ④,x-y=6 ⑤,
④+⑤得2x=14,解得x=7.
④-⑤得2y=2,解得y=1,
所以,原方程组的解是{x=7,y=1.