《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

4. (南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的1个大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为$m$,$n$($m ＞ n$)。若小正方形的面积为5,$(m + n)^{2} = 21$,则大正方形的面积为(B)。

A.$12$
B.$13$
C.$14$
D.$15$

答案： B

5. (陕西中考)我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时,巧妙地运用弦图证明了勾股定理。如图,在$10×15$的正方形网格中,将弦图$ABCD$放大,使点$A$,$B$,$C$,$D的对应点分别为A'$,$B'$,$C'$,$D'$。
(1)$A'C'与AC$的比值为______。
(2)补全弦图$A'B'C'D'$。

答案：
解:
(1)观察正方形ABCD和正方形A'B'C'D',可知A'B'=2AB,B'C'=2BC,C'D'=2CD,A'D'=2AD,所以将正方形ABCD放大为原来的2倍即得正方形A'B'C'D',所以A'C'与AC的比值为2.故答案为2.
(2)补全弦图A'B'C'D'如图所示:
　　　
数学(八年级上册)

6. (攀枝花中考)“弦图”的示意图如图所示。“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。它由4个全等的直角三角形与1个小正方形组成,它们恰好拼成1个大正方形,每个直角三角形的两条直角边分别为$a$,$b$,斜边为$c$。请你运用此图形证明勾股定理$a^{2}+b^{2}= c^{2}$。

答案： 解:由图可知$S_{正方形}=4× \frac{1}{2}ab+(b-a)^{2}=2ab+b^{2}+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}$.
$\because S_{正方形}=c^{2}$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

7. (益阳中考)已知$M$,$N是线段AB$上的两点,$AM = MN = 2$,$NB = 1$,以点$A$为圆心、$AN$的长为半径画弧,再以点$B$为圆心、$BM$的长为半径画弧,两弧交于点$C$,连接$AC$,$BC$,则$\triangle ABC$一定是(B)。
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形

答案： B