《2025年新课堂学习与探究八年级数学上册北师大版》

1. 一次函数、正比例函数的概念
如果两个变量 $ x,y $ 之间的对应关系可以表示成$ y = kx + b $( $ k,b $ 为常数, $ k \neq 0 $ ) 的形式,那么称 $ y $ 是 $ x $ 的一次函数。
特别地,当$ b = 0 $时,称 $ y $ 是 $ x $ 的正比例函数。

答案： $ y = kx + b $；$ b = 0 $

2. 根据条件列一次函数关系式
(1) 认真分析,理解题意；
(2) 同列方程解应用题的思路,找出等量关系；
(3) 写出一次函数的解析式；
(4) 注意自变量 $ x $ 的取值范围,对于实际问题,还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义。

答案： （1）题意；（2）等量；（3）解析式；（4）有意义

1. 在下列函数中, $ x $ 是自变量。哪些函数是一次函数？哪些函数是正比例函数？
(1) $ y = 3x $
(2) $ y = \frac{1}{x} $
(3) $ y = -3x + 1 $
(4) $ y = x^{2} $
[知识点 2]根据条件列一次函数关系式

答案： 1.解:
(1)
(3)是一次函数,其中
(1)还是正比例函数;
(2)
(4)既不是一次函数,也不是正比例函数.

2. 工艺品店销售某种工艺品,调查发现：当销售价为 40 元/件时,每天的销售量为 20 件；当销售价每降低 1 元,每天的销售量就多 5 件。设销售价为 $ x $ 元/件,每天的销售量为 $ y $ 件。
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式。
(2) 某天销售时,每件工艺品的利润为 15 元,当天共盈利 750 元,求这天该种工艺品每件的销售价。

答案： 2.解:
(1)根据题意得$ y=20+\frac{40-x}{1}×5=-5x+220 $,
∴y与x之间的函数关系式为$ y=-5x+220 $.
(2)当$ y=\frac{750}{15} $,即$ y=50 $时,
$ -5x+220=50 $,
解得$ x=34 $.
答:这天该种工艺品每件的销售价为34元.

1. 下列函数为一次函数的是(A)。
① $ y = x + 6 $；
② $ y - x = -2(x + 1) $；
③ $ y = -x^{2} + 4x - 1 $；
④ $ y = 4x $。
A.①②④
B.①③
C.①②
D.②④

答案： A

2. 下列关系符合正比例关系的是(A)。
A.正方形的周长 $ C $ 和它的边长 $ a $ 的关系
B.距离 $ s $ 一定时,速度 $ v $ 和时间 $ t $ 的关系
C.圆的面积 $ S $ 和半径 $ r $ 的关系
D.正方体的体积 $ V $ 和棱长 $ m $ 的关系

答案： A