《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

10. 如图 1，$ AB = 8cm $，$ AC \perp AB $，$ BD \perp AB $，垂足分别为点 $ A $、$ B $，$ AC = 6cm $，点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上以 $ 1cm/s $ 的速度由点 $ A $ 向点 $ B $ 运动，同时点 $ Q $ 在射线 $ BD $ 上运动，它们运动的时间为 $ t s $（当点 $ P $ 运动结束时，点 $ Q $ 的运动也随之结束）。
(1) 若点 $ P $、$ Q $ 的运动速度相同，当 $ t = 2s $ 时，判断此时线段 $ PC $ 和线段 $ PQ $ 的位置关系，并说明理由。
(2) 如图 2，若将“$ AC \perp AB $，$ BD \perp AB $”改为“$ \angle CAB = \angle DBA $”，点 $ Q $ 的运动速度为 $ x cm/s $，其他条件不变，当点 $ P $、$ Q $ 运动到何处时，$ \triangle ACP $ 与 $ \triangle BPQ $ 全等？求出相应的 $ x $ 的值。

答案： 10.
(1)PC⊥PQ.
理由:
∵ AC⊥AB,BD⊥AB,
∴ ∠A = ∠B = 90°.
∵ AP = BQ = 2,
∴ BP = AB - AP = 8 - 2 = 6.
∴ BP = AC.
在△ACP和△BPQ中，
$\begin{cases}AP=BQ,\\\angle A=\angle B,\\AC=BP,\end{cases}$
∴ △ACP≌△BPQ(SAS).
∴ ∠C = ∠BPQ.
∵ ∠C + ∠APC = 90°,
∴ ∠BPQ + ∠APC = 90°.
∴ ∠CPQ = 90°.
∴ PC⊥PQ.
(2)①若△ACP≌△BPQ,
则AC = BP,AP = BQ.
可得6 = 8 - t,t = xt.
解得x = 1,t = 2.
②若△ACP≌△BQP,
则AC = BQ,AP = BP.
可得6 = xt,t = 8 - t.
解得x = $\frac{3}{2}$,t = 4.
综上所述,当△ACP与△BPQ全等时,x的值为1或$\frac{3}{2}$.