《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

10. 如图，长为 $a$、宽为 $b$ 的长方形的周长为 $10$，面积为 $6$，求 $a^3b^2 + a^2b^3$ 的值。

答案： 10.根据题意,得a+b=5,ab=6,
∴ a³b²+a²b³=a²b²(a+b)=(ab)²(a+b)=36×5=180.

11. 若 $x + y = -4$，$xy = 2$，求 $x^2y + xy^2 - x^2y^2$ 的值。

答案： 11.原式=xy(x+y-xy).
∵ x+y=-4,xy=2,
∴ 原式=2×(-4-2)=-12.

12. 装饰公司为小明家设计电视背景墙时需用 A、B 型板材若干块，A 型板材规格是 $a× b$，B 型板材规格是 $b× b$，现只能购得规格是 $150× b$ 的标准板材。(单位：$cm$)
(1)设 $a = 60\ cm$，$b = 30\ cm$，若要一张标准板材尽可能多地裁出 A、B 型板材，共有表格所示的三种裁法，如图 1 是裁法一的裁剪示意图。

则 $m =$1，$n =$5。
(2)为了装修的需要，小明家又购买了若干 C 型板材，其规格是 $a× a$，并做成如图 2 的背景墙，请写出图中所表示的等式：(a+2b)²=a²+4ab+4b²。
(3)若给定一个二次三项式 $a^2 + 4ab + 3b^2$，试用拼图的方式将其因式分解。请仿照(2)在几何图形中标上有关数量。

答案：
12.
(1)1 5；
(2)(a+2b)²=a²+4ab+4b²；
(3)根据题意画图如下:
∵ 构成的长方形面积等于所给图片的面积之和，
∴ a²+4ab+3b²=(a+b)(a+3b).