《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

2. 如图，在$\triangle ABE$与$\triangle CBD$中，$AE\perp BD$于点$E$，$CD\perp BD$于点$D$，$AB = BC$，$BE = CD$。求证：$Rt\triangle ABE\cong Rt\triangle BCD$。

答案： 2.
∵AE⊥BD,CD⊥BD,
∴∠AEB=∠BDC=90°.
在Rt△ABE和Rt△BCD中,
AB=BC,
BE=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△BCD(HL).

3. 如图，已知$AB = CD$，$DE\perp AC$，$BF\perp AC$，点$E$、$F$是垂足，$DE = BF$。
(1) 求证：$\angle CAB=\angle ACD$。
(2) 判断$AB$与$CD$的位置关系，并说明理由。

答案： 3.
(1)
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEC=∠BFA=90°.
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
CD=AB,
DE=BF,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL).
∴∠DCE=∠BAF,
即∠ACD=∠CAB.
(2)AB//CD.
理由:由
(1),知∠CAB=∠ACD,
∴CD//AB.

4. 如图，已知$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，$BC$与$AD$交于点$E$，$AC = BD$。求证：$AE = BE$。

答案： 4.
∵∠C=∠D=90°,
∴△ACB和△BDA都是直角三角形.
在Rt△ACB和Rt△BDA中,
AB=BA,
AC=BD,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL).
∴AC=BD.
在△ACE和△BDE中,
∠C=∠D,
∠CEA=∠DEB,
AC=BD,
∴△ACE≌△BDE(AAS).
∴AE=BE.

5. 如图，已知点$A$、$B$、$C$、$D$在同一条直线上，$EA\perp AD$，$FD\perp AD$，$AB = CD$，若用“HL”证明$Rt\triangle AEC\cong Rt\triangle DFB$，需添加什么条件？并写出你的证明过程。

答案： 5.添加的条件是EC=FB.
证明:
∵AB=CD,
∴AB + BC=CD + BC.
∴AC=BD.
∵EA⊥AD,FD⊥AD,
∴∠A=∠D=90°.
在Rt△AEC和△Rt△DFB中,
EC=FB,
AC=BD,
∴Rt△AEC≌△Rt△DFB(HL).