《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，直线$l$经过顶点$C$，分别过$A$、$B$两点作$l$的垂线$AE$、$BF$，点$E$、$F$为垂足，且$AE = CF$。
求证：(1)$AC\perp BC$。
(2)$AE + BF = EF$。

答案： 5.
(1)
∵ AE⊥l,BF⊥l,
∴ ∠AEC=∠BFC=90°.
在Rt△ACE和Rt△CBF中,
$\begin{cases} AC = BC, \\ AE = CF, \end{cases}$
∴ Rt△ACE≌Rt△CBF(HL).
∴ ∠EAC=∠BCF;
∵ ∠EAC+∠ACE=90°,
∴ ∠ACE+∠BCF=90°,
即∠ACB=180°−90°=90°.
∴ AC⊥BC.
(2)
∵ Rt△ACE≌Rt△CBF,
∴ CE=BF.
又
∵ AE=CF,CF+CE=EF,
∴ AE+BF=EF.

6. 如图，某海岸线沿线有$A$、$B$两个码头，在该海域内有两座小岛$C$、$D$，航线$AC$与$BD$交汇于点$O$，经测量，$OA = OB$，$OC = OD$。求证：$\angle ADO=\angle BCO$。

答案： 6.在△AOD和△BOC中，
$\begin{cases} OA = OB, \\ ∠AOD = ∠BOC, \\ OD = OC, \end{cases}$
∴ △AOD≌△BOC(SAS).
∴ ∠ADO=∠BCO.

7. 学习了“利用三角形全等测量距离”后，数学兴趣小组的同学就“测量河两岸$A$、$B$两点间的距离”这一问题，设计了如下方案：

②测得$\angle DCB = 100^{\circ}$，$\angle ADC = 65^{\circ}$；
③在$CD$的延长线上取点$E$，使得$\angle BEC = 15^{\circ}$；
请你根据以上方案求出$A$、$B$两点间的距离$AB$。

答案： 7.
∵ ∠C=100°,∠ADC=65°,
∴ ∠CAD=15°.
∴ ∠CAD=∠BEC.
在△ACD与△ECB中，
$\begin{cases} ∠A = ∠E, \\ ∠C = ∠C, \\ CD = CB, \end{cases}$
∴ △ACD≌△ECB(AAS).
∴ AC=CE.
又
∵ CB=CD,
∴ AB=DE=30m.