《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

3. 两位数$\overline{a3}$可表示为$10a + 3$，当$a$取不同的值时，$\overline{a3}$的平方如下：
第$1$个等式：
$13 × 13 = 169 = (10 × 1 + 6) × 10 × 1 + 9$；
第$2$个等式：
$23 × 23 = 529 = (10 × 2 + 6) × 10 × 2 + 9$；
第$3$个等式：
$33 × 33 = 1089 = (10 × 3 + 6) × 10 × 3 + 9$；
……
（1）请写出第$4$个等式.
（2）根据上述规律，请写出两位数$\overline{a3}$的平方的一般性规律，并给出证明.

答案： 3.
(1)$43×43 = 1849=(10×4 + 6)×10×4 + 9$.
(2)$\overline{a3}$的平方的一般性规律为
$(a3)^{2}=(10a + 3)^{2}=(10a + 6)×10a + 9$.
证明：
∵ $(10a + 3)^{2}=(10a)^{2}+60a + 9$，
$(10a + 6)×10a + 9=(10a)^{2}+60a + 9$，
∴ $\overline{a3}$的平方的一般性规律成立.

4. 【发现】任意三个连续偶数的平方和是$4$的倍数.
【验证】（1）$2^{2} + 4^{2} + 6^{2}$的结果是$4$的几倍？
（2）设三个连续偶数的中间一个数为$2n$，请写出三个连续偶数的平方和，并说明这个结果是$4$的倍数.
【延伸】（3）设三个连续奇数的中间一个数为$2n + 1$，写出三个连续奇数的平方和，这个结果是$12$的倍数吗？若是，请说明理由；若不是，请写出被$12$除余数是多少？

答案： 4.
(1)
∵ $2^{2}+4^{2}+6^{2}=4 + 16 + 36$
$=56 = 4×14$，
∴ $2^{2}+4^{2}+6^{2}$的结果是$4$的$14$倍.
(2)设三个连续偶数分别为$2n - 2,2n,2n + 2$（其中$n$是整数），则
$(2n - 2)^{2}+(2n)^{2}+(2n + 2)^{2}$
$=4n^{2}-8n + 4 + 4n^{2}+4n^{2}+8n + 4$
$=12n^{2}+8$
$=4(3n^{2}+2)$.
∴ 三个连续偶数的平方和是$4$的倍数.
(3)设三个连续奇数分别为$2n - 1,2n + 1,2n + 3$（其中$n$是整数），则
$(2n - 1)^{2}+(2n + 1)^{2}+(2n + 3)^{2}$
$=4n^{2}-4n + 1 + 4n^{2}+4n + 1 + 4n^{2}+12n + 9$
$=12n^{2}+12n + 11$
$=12(n^{2}+n)+11$.
∴ 三个连续奇数的平方和不能被$12$整除，被$12$除余数是$11$.