《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

小东找来一张挂历纸给数学教材包书皮，已知教材长 $a$ cm、宽 $b$ cm、厚 $c$ cm，小东想将教材封面与封底的每一边都包进去 $d$ cm，问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形？

答案： 2ab+ac+2ad+4bd+2cd+4d²

多项式与多项式相乘的法则：
文字语言：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
符号语言：$(m + n)(a + b)=$$ma+mb+na+nb$。

答案： 每一项 每一项 相加 $ma+mb+na+nb$

**例1** 计算：
(1)$(x + 3y)(2x + 3y)$。
(2)$(x - 1)(x^{2}+x + 1)$。
(3)$(x + 3)(x - 2)-x(x - 1)$。
**答案**：(1) 原式 $=2x^{2}+3xy + 6xy + 9y^{2}=2x^{2}+9xy + 9y^{2}$。
(2) 原式 $=x^{3}+x^{2}+x - x^{2}-x - 1=x^{3}+x^{2}-x^{2}+x - x - 1=x^{3}-1$。
(3) 原式 $=x^{2}-2x + 3x - 6 - x^{2}+x=x^{2}-x^{2}-2x + 3x + x - 6=2x - 6$。
**【解析】** (1)(2) 利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果。(3) 先根据多项式乘以多项式法则和单项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项即可。

答案：
(1)
原式$=x(2x + 3y)+3y(2x + 3y)$
$=2x^{2}+3xy + 6xy+9y^{2}$
$=2x^{2}+9xy + 9y^{2}$
(2)
原式$=x(x^{2}+x + 1)-1(x^{2}+x + 1)$
$=x^{3}+x^{2}+x - x^{2}-x - 1$
$=x^{3}-1$
(3)
原式$=(x^{2}-2x + 3x - 6)-(x^{2}-x)$
$=x^{2}+x - 6 - x^{2}+x$
$=2x - 6$

**例2** 小明在计算一道整式乘法 $(5x - m)(3x - 2)$ 时，在解题的过程中，抄错了第一个多项式中 $m$ 前面的符号，把“$-$”写成了“$+$”，得到的结果为 $15x^{2}-7x - 2$。
(1) 求 $m$ 的值。
(2) 请计算这道整式乘法的正确结果。
**答案**：(1) 根据题意可得 $(5x + m)(3x - 2)=15x^{2}-10x + 3mx - 2m=15x^{2}+(3m - 10)x - 2m=15x^{2}-7x - 2$，$\therefore 3m - 10=-7$，即 $m = 1$。
(2) 当 $m = 1$ 时，$(5x - m)(3x - 2)=(5x - 1)(3x - 2)=15x^{2}-10x - 3x + 2=15x^{2}-13x + 2$。
**【解析】** (1) 根据题意可得 $(5x + m)(3x - 2)$，应用多项式乘以多项式的法则进行计算，可得 $15x^{2}+(3m - 10)x - 2m$，由 $3m - 10=-7$，计算即可得出答案。
(2) 由(1) 可知 $m$ 的值，代入应用多项式乘以多项式法则进行计算即可得出答案。

答案：
(1)根据题意，小明抄错后的计算为：
$(5x + m)(3x - 2)$
$= 5x \cdot 3x + 5x \cdot (-2) + m \cdot 3x + m \cdot (-2)$
$= 15x^{2} - 10x + 3mx - 2m$
$= 15x^{2} + (3m - 10)x - 2m$
由于这个表达式等于 $15x^{2} - 7x - 2$，可以得到方程：
$3m - 10 = -7$
解得：
$m = 1$
(2)将 $m = 1$ 代入原式 $(5x - m)(3x - 2)$，得：
$(5x - 1)(3x - 2)$
$= 5x \cdot 3x + 5x \cdot (-2) + (-1) \cdot 3x + (-1) \cdot (-2)$
$= 15x^{2} - 10x - 3x + 2$
$= 15x^{2} - 13x + 2$

根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法：
①$\because 3 - 2=1＞0$，
$\therefore 3＞2$。
②$\because (-2)-1=-3＜0$，
$\therefore -2＜1$。
③$\because (-2)-(-2)=0$，
$\therefore -2=-2$。
像上面这样，根据两数之差是正数、负数或 $0$，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小。
(1) 请将上述比较大小的方法用字母表示出来：
若 $a - b＞0$，则 $a$$＞$$b$；若 $a - b=0$，则 $a$$=$$b$；若 $a - b＜0$，则 $a$$＜$$b$。
(2) 请用上述方法比较下列代数式的大小(直接在空格中填写“$＞$”“$＜$”或“$=$”)。
①$x + 1$$＞$$x - 3$。
②当 $a＜0$ 时，$2a$$＞$$3a$。
③当 $x＞y$ 时，$3x + 5y$$＞$$2x + 6y$。
(3) 已知代数式 $M=(x - 3)(x - 4)$，$N=(x - 2)(x - 5)$，试比较 $M$、$N$ 的大小，并说明理由。

答案：
(1)$＞$ = $＜$
(2)①$＞$ ②$＞$ ③$＞$
(3)$M＞N$.
理由：$\because M=(x-3)(x-4)=x^{2}-7x+12$,
$N=(x-2)(x-5)=x^{2}-7x+10$,
$M-N=x^{2}-7x+12-(x^{2}-7x+10)=2＞0$,
$\therefore M＞N$.