《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

5. 数学课上，有同学提出如下问题：试证明两直线平行，同位角相等.

小贴士：反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此通过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立.在某些情形下，反证法是很有效的证明方法.
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线AB、CD被直线EF所截，且AB//CD，那么∠EOB = ∠EO'D”.如图2，假设∠EOB ≠ ∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB' = ∠EO'D，可得A'B'//CD.这样过点O就有两条直线AB、A'B'都平行于直线CD，这与基本事实经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，说明假设∠EOB ≠ ∠EO'D不成立，于是有∠EOB = ∠EO'D.

答案： 5.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

6. 阅读下面的文字，回答问题.
题目：在△ABC中，∠C = 90°，若∠A ≠ 45°，则AC ≠ BC.
证明：假设AC = BC，
∵ ∠A ≠ 45°，∠C = 90°，
∴ ∠A ≠ ∠B.
∴ AC ≠ BC，这与假设矛盾.
∴ AC ≠ BC.
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请改正.

答案： 6.有错误.假设$AC = BC$，则$\angle A = \angle B$.又$\because \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore \angle A = 45^{\circ}$.这与已知$\angle A \neq 45^{\circ}$相矛盾.$\therefore$在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，若$\angle A \neq 45^{\circ}$，则$AC \neq BC$.

7. 用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角.

答案： 7.假设$\bigtriangleup ABC$的三个外角中至少有两个直角，不妨设$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore \angle A + \angle B + \angle C ＞ 180^{\circ}$.这与三角形内角和等于$180^{\circ}$相矛盾.$\therefore$任意三角形的三个外角中至多有一个直角.

8. 将下面运用反证法进行证明的过程补全.
如图，在△ABC中，AB = AC，∠APB ≠ ∠APC，求证：PB ≠ PC.
证明：假设PB = PC.
∵ AB = AC，AP = AP，
∴ △ABP ≌ △ACP(SSS).
∴ ∠APB = ∠APC.
这与∠APB ≠ ∠APC相矛盾，
∴ 假设PB = PC不成立.
故PB ≠ PC.

答案： 8.$PB = PC$$\angle APB \neq \angle APC$假设$PB = PC$