《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

8. 如图，在等腰三角形纸片$ABC$中，$AB = AC$，$AH\perp BC$，点$H$为垂足.小花放入一张等边三角形纸片$BDE$，点$E$在$BC$边上，$F$为$AH$与$DE$的交点，小都又放入一张等边三角形纸片$EFG$，点$G$在$BC$边上.小花和小都量得$EF = 5$，$CE = 3$，那么等腰三角形纸片的底边$BC$的长度为(C).

A.$8$
B.$10$
C.$11$
D.$13$

答案： 8. C

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD\perp BC$于点$D$，$DE\perp AB$于点$E$，$BF\perp AC$于点$F$.若$DE = 4$，则$BF$的长度为(D).

A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$

答案： 9. D

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，过点$A$作$AM\perp BC$于点$M$，点$D$在$BA$的延长线上，$E$是$AC$边上一点，且$AD = AE$，连结$DE$，试说明$DE\perp BC$.

答案：
10. 如图，延长$DE$，交$BC$于点$F$.

$\because AB = AC$，$AM \perp BC$，
$\therefore \angle BAC = 2\angle BAM$.
$\because AM \perp BC$，
$\therefore \angle AMB = 90^{\circ}$.
$\because AD = AE$，
$\therefore \angle D = \angle AED$.
$\because \angle BAC$是$\triangle ADE$的一个外角，
$\therefore \angle BAC = \angle D + \angle AED = 2\angle D$.
$\therefore \angle BAM = \angle D$.
$\therefore DE // AM$.
$\therefore \angle DFB = \angle AMB = 90^{\circ}$.
$\therefore DF \perp BC$，
即$DE \perp BC$.

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是$BC$边上一点，$E$、$F$分别为$AB$、$AC$上的点，且$BD = CF$，$CD = BE$，$G$为$EF$的中点.求证：$DG\perp EF$.

答案： 11. $\because AB = AC$，
$\therefore \angle B = \angle C$.
在$\triangle EBD$和$\triangle DCF$中，
$\begin{cases} BD = CF, \\ \angle B = \angle C, \\ BE = CD, \end{cases}$
$\therefore \triangle EBD \cong \triangle DCF(SAS)$.
$\therefore DE = DF$.
$\because G$为$EF$的中点，
$\therefore DG \perp EF$.