《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

如图，要做一个容积是 $64\mathrm{dm}^3$ 的正方体木箱，工人师傅想知道它的棱长是多少，你能告诉工人师傅吗？

答案： 4dm

1. 立方根的定义：如果一个数的立方等于$a$，那么这个数叫做 $a$ 的立方根。

答案： 1. 立方根的定义：如果一个数的立方等于$a$，那么这个数叫做 $a$ 的立方根。

2. 立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，$0$ 的立方根是 $0$。

答案： 2. 立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，$0$ 的立方根是 $0$。

3. 立方根的表示：数 $a$ 的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$，读作“三次根号$a$”。其中，$a$ 是被开方数，$3$ 是根指数。

答案： 3. 立方根的表示：数 $a$ 的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$，读作“三次根号$a$”。其中，$a$ 是被开方数，$3$ 是根指数。

4. 开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

答案： 4. 开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

例题 已知一个正数的平方根分别是 $2a + 1$ 和 $a - 4$，又 $b - 4$ 的立方根为 $-2$。
（1）求 $a$，$b$ 的值。
（2）求 $5a - b$ 的平方根。
答案：（1）$\because$ 一个正数的平方根分别是 $2a + 1$ 和 $a - 4$，
$\therefore$ $2a + 1 + (a - 4) = 0$，解得 $a = 1$。
$\because$ $b - 4$ 的立方根为 $-2$，
$\therefore$ $b - 4 = (-2)^3 = -8$，解得 $b = -4$。
（2）由（1）可知，$a = 1$，$b = -4$，
$\therefore$ $5a - b = 5×1 - (-4) = 9$。
$\therefore$ $5a - b$ 的平方根为 $\pm\sqrt{9} = \pm3$。
【解析】（1）根据“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”可以求出 $a$ 的值，再根据立方根的定义可求出 $b$ 的值。
（2）将 $a$，$b$ 的值代入求出 $5a - b$ 的值，再根据平方根的定义求解即可。
方法点拨 此类题目主要考查平方根与立方根的定义，理解平方根与立方根的定义与性质是解题的关键。

答案： （1）$\because$ 一个正数的平方根分别是 $2a + 1$ 和 $a - 4$，$\therefore$ $2a + 1 + (a - 4) = 0$，解得 $a = 1$。$\because$ $b - 4$ 的立方根为 $-2$，$\therefore$ $b - 4 = (-2)^3 = -8$，解得 $b = -4$。（2）由（1）可知，$a = 1$，$b = -4$，$\therefore$ $5a - b = 5×1 - (-4) = 9$。$\therefore$ $5a - b$ 的平方根为 $\pm\sqrt{9} = \pm3$。

1. 一个正数的两个平方根分别是 $3x - 1$ 和 $2x - 14$，那么这个正数的立方根是4。

答案： 1. 4

2. 下列计算正确的是(C)。

A.$\sqrt{(-3)^2} = -3$
B.$\sqrt[3]{8} = \pm2$
C.$\pm\sqrt[3]{27} = \pm3$
D.$(-\sqrt{2})^2 = -2$

答案： 2. C

3. 若 $a^2 = 4$，$b^3 = -27$，且 $ab ＜ 0$，则 $a - b$ 的值为(C)。

A.$-2$
B.$\pm5$
C.$5$
D.$-5$

答案： 3. C