《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

1. 已知 $ a + b = 6 $，$ ab = 2 $，求 $ a^{2} + b^{2} $ 和 $ (a - b)^{2} $ 的值。

答案： 1. $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=6^{2}-2×2$
$=36 - 4=32$.
$(a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab=32 - 2×2=28$.

2. 已知 $ x - y = 3 $，$ xy = 3 $，求 $ (x + y)^{2} $ 的值。

答案： 2. $(x + y)^{2}=(x - y)^{2}+4xy=3^{2}+4×3=21$.

3. 已知 $ a^{2} + b^{2} = 15 $，$ (a - b)^{2} = 3 $，求 $ ab $ 和 $ (a + b)^{2} $ 的值。

答案： 3. $\because (a - b)^{2}=3$,
$\therefore a^{2}-2ab + b^{2}=3$.
$\because a^{2}+b^{2}=15$,
$\therefore 15 - 2ab=3$.
$\therefore -2ab=-12$.
$\therefore ab=6$.
$\because a^{2}+b^{2}=15$,
$\therefore (a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=15 + 12=27$.

4. 已知 $ x + \frac{1}{x} = 3 $，求 $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} $ 的值。

答案： 4. $\because x+\frac{1}{x}=3$,
$\therefore (x+\frac{1}{x})^{2}=9$.
$\therefore x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=9$.
$\therefore x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$.

5. 【初试锋芒】
(1) 若 $ x + y = 8 $，$ x^{2} + y^{2} = 40 $，求 $ xy $ 的值。
【再展风采】
(2) 已知 $ 4a^{2} + b^{2} = 57 $，$ ab = 6 $，求 $ 2a + b $ 的值。
【尽显才华】
(3) 若 $ (20 - x)(x - 30) = 10 $，求 $ (20 - x)^{2} + (x - 30)^{2} $ 的值。

答案： 5.
(1)由$x + y=8,x^{2}+y^{2}=40$,得
$xy=\frac{1}{2}[(x + y)^{2}-x^{2}-y^{2}]$
$=\frac{1}{2}×(8^{2}-40)=12$.
(2)$\because 4a^{2}+b^{2}=57,ab=6$,
$\therefore (2a + b)^{2}=4a^{2}+b^{2}+4ab=81$,
$\therefore 2a + b=\pm9$.
(3)设$a=20 - x,b=x - 30$,
则$(20 - x)(x - 30)=ab=10$,
$a + b=(20 - x)+(x - 30)=-10$,
$\therefore (20 - x)^{2}+(x - 30)^{2}$
$=a^{2}+b^{2}$
$=(a + b)^{2}-2ab$
$=(-10)^{2}-2×10$
$=80$.

6. 若 $ (3x - 1)^{2} = 9x^{2} + ax + 1 $，则 $ a $ 的值为(C)。

A.6
B.$ \pm 3 $
C.-6
D.$ \pm 6 $

答案： 6. C

7. 乐乐计算一个二项整式的平方时，得到正确结果 $ 9x^{2}■ + 4y^{2} $，但中间一项不慎被污染了，这一项应该是(D)。

A.$ +36xy $
B.$ +12xy $
C.$ -12xy $
D.$ \pm 12xy $

答案： 7. D

8. 若关于 $ x $ 的整式 $ 4x^{2} + mx + 25 $ 是某个整式的平方，则 $ m $ 的值是±20。

答案： 8. $\pm20$

9. 已知 $ x^{2} - 8x + k $ 可以写成某一个式子的平方的形式，则常数 $ k $ 的值为16。

答案： 9. 16

10. 若 $ x^{2} + (k + 1)x + 9 $ 能写成一个多项式的平方形式，则 $ k = $-7或5。

答案： 10. -7或5