《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

同学们，你们还记得有理数的本质是什么吗？一天，$\sqrt{2}$看见一群数字：$2,\sqrt{9},-\frac{1}{4},0,-5$，$0.3\cdots\cdots$在花园里捉迷藏，于是走过去想跟它们一起玩. 可是，其中的一个数字说$\sqrt{2}$和它们不一样，不愿意和它一起玩. 这到底是怎么回事呢？你能说清楚吗？

答案： $\sqrt{2}$是无理数，与其他有理数不同。

1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数.

答案： 1. 无限不循环小数

2. 实数：有理数和无理数统称为实数.

答案： 2. 有理数 无理数

3. 实数的分类：
(1)略实数按定义分类：

$实数 \left\{\begin{array}{l}$$有理数 \left\{\begin{array}{l}整数 \left\{\begin{array}{l}正整数 \$_________$ \$_________$\end{array}\right. \$_________$ \left\{\begin{array}{l}$$ \\负分数$$\end{array}\right.\end{array}\right. \$_________$ \left\{\begin{array}{l}$_________$ \$_________$\end{array}\right.\end{array}\right.$
(2) 实数按正负性分类：

$实数 \left\{\begin{array}{l}正实数 \left\{\begin{array}{l}$$正有理数 \$_________$\end{array}\right. \\0 \\负实数 \left\{\begin{array}{l}负有理数 \$_________$\end{array}\right.\end{array}\right.$

答案：
(1)
整数:
正整数
零
负整数
分数:
正分数
负分数
无理数:
正无理数
负无理数
(2)
正实数:
正有理数
正无理数
负实数:
负有理数
负无理数

4. 实数与数轴上的点一一对应，即数轴上的每一个点必定表示一个实数；反过来，每一个实数(有理数或无理数)都可以用数轴上的一个点来表示.

答案： 4. 一一对应

例题 如图是一个无理数筛选器的工作流程图，请回答相关问题.

(1) 当$x = 8$时，$y$的值为$\sqrt[3]{2}$.
(2) 当输出的$y$值是$\sqrt[3]{3}$时，输入的$x$值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的$x$值.
(3) 是否存在输入某个$x$值后，却始终输不出$y$值？如果存在，写出所有满足要求的$x$值；如果不存在，请说明理由.
答案：(1) $\sqrt[3]{2}$
(2) 不唯一，如输入的$x$值可以是$3$或$27$.
(3) 当输入的数是$-1,0,1$时，取它们的立方根始终分别是$-1,0,1$，
$\therefore$ 当输入的$x$分别是$-1,0,1$时，始终输不出$y$值.
【解析】(1) 依据运算规则$\sqrt[3]{8} = 2$，$2$是有理数，再次输入$2$计算得$\sqrt[3]{2}$，为无理数，即$y = \sqrt[3]{2}$.
(2) 根据运算规则进行反向思考，即可求得无数个满足条件的数，如$3,27,27^3$等.
(3) 根据运算规则，若无法输出$y$的值，则意味着求立方根后的数始终可以开立方，即为
特殊的有理数：$-1,0,1$.
方法点拨 本题主要考查对无理数与立方根的理解，正确理解其运算规则是解题关键.

答案： 1. $\sqrt[3]{2}$
2. 不唯一，如输入的$x$值可以是$3$或$27$.
3. 当输入的数是$-1,0,1$时，取它们的立方根始终分别是$-1,0,1$，$\therefore$ 当输入的$x$分别是$-1,0,1$时，始终输不出$y$值.