《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在AB上取点D，使AD=CD，过点B作BE//CD，交AC的延长线于点E.
（1）求证：AB=BE.
（2）若CD平分∠ACB，求∠ABE的度数.

答案：
8.
(1)如图，
∵ AD=CD,
∴ ∠A=∠1.
又
∵ CD//BE,
∴ ∠1=∠E.
∴ ∠A=∠E.
∴ AB=BE.

(2)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,则∠A+∠ACB=90°.
∵ CD平分∠ACB,
∴ ∠1=∠2.
又由
(1)知,∠A=∠1,
∴ ∠A+∠1+∠2=3∠A=90°.
∴ ∠A=30°.
由
(1)知,∠A=∠E=30°.
∴ ∠ABE=180°−2∠A=120°.

9. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE//BC，交AB于点E.
（1）求证：∠EBD=∠EDB.
（2）当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.

答案： 9.
(1)
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ ∠CBD=∠EBD.
∵ DE//BC,
∴ ∠CBD=∠EDB.
∴ ∠EBD=∠EDB.
(2)CD=ED.
理由:
∵ AB=AC,
∴ ∠C=∠ABC.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC.
∴ ∠ADE=∠AED.
∴ AD=AE.
∴ CD=BE.
由
(1),得∠EBD=∠EDB,
∴ BE=DE.
∴ CD=ED.

10. 如图，点D在等边三角形ABC的外部，连结AD、CD，且AD=CD，过点D作DE//BC，交AB于点E，交AC于点F.
（1）判断△AEF的形状，并说明理由.
（2）若∠ADC=140°，求∠ADE的度数.

答案： 10.
(1)△AEF是等边三角形.
理由:
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=∠ACB=60°.
∵ DE//CB,
∴ ∠AFE=∠ACB=60°.
∴ ∠EAF=∠AFE=∠AEF=60°.
∴ △AEF是等边三角形.
(2)
∵ DA=DC,∠ADC=140°,
∴ ∠DAC=∠DCA=20°.
∵ ∠ACB=60°,
∴ ∠DCB=∠DCA+∠ACB=80°.
∵ DE//CB,
∴ ∠EDC=180°−∠DCB=100°.
∴ ∠ADE=∠ADC−∠EDC =140°−100°=40°.

11. 如图，在△ABC中，BD是高，D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，∠E=30°.
（1）求证：△ABC是等边三角形.
（2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由.

答案： 11.
(1)
∵ BD⊥AC,
∴ ∠BDA=∠BDC=90°.
∵ D是AC边的中点，
∴ AD=CD.
在△ADB和△CDB中，
$\begin{cases}AD=CD,\\\angle{BDA}=\angle{BDC},\\BD=BD,\end{cases}$
∴ △ADB≌△CDB(SAS).
∴ AB=CB.
∵ EF⊥AB,
∴ ∠ABC+∠E=90°.
∵ ∠E=30°,
∴ ∠ABC=60°.
∴ △ABC是等边三角形.
(2)AD=CE.
理由:
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=60°.
∵ ∠ACB=∠E+∠CDE,∠E=30°,
∴ ∠CDE=30°=∠E,
∴ CD=CE.
∵ D是AC边的中点，
∴ AD=CD.
∴ AD=CE.