《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是$BC$边的中点，$E$、$F$分别是$AB$、$AC$上的点，且$AE = AF$，求证：$DE = DF$.

答案：
3. 如图，连结$AD$.

$\because AB = AC$，$D$是$BC$边的中点，
$\therefore \angle EAD = \angle FAD$.
在$\triangle AED$和$\triangle AFD$中，
$\begin{cases} AE = AF, \\ \angle EAD = \angle FAD, \\ AD = AD, \end{cases}$
$\therefore \triangle AED \cong \triangle AFD(SAS)$.
$\therefore DE = DF$.

4. 如图，在等边三角形$ABC$中，$AD\perp BC$，垂足为点$D$，点$E$在线段$AD$上.若$\angle EBC = 45^{\circ}$，则$\angle ACE$等于(D).

A.$18^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$15^{\circ}$

答案： 4. D

5. 如图，在等边三角形$ABC$中，$AD\perp BC$，$BE\perp AC$，$AD$、$BE$交于点$F$，则$\angle AFE$的度数是(A).

A.$60^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： 5. A

6. 如图，在等边三角形$ABC$中，$BC = 8$，过$BC$边上一点$P$作$\angle DPE = 60^{\circ}$，分别与边$AB$、$AC$相交于点$D$、$E$.
(1)在图中找出与$\angle EPC$始终相等的角，并说明理由.
(2)若$\triangle PDE$为等边三角形，求$BD + CE$的值.

答案： 6.
(1) $\angle BDP = \angle EPC$.
理由：$\because \triangle ABC$为等边三角形，
$\therefore \angle B = 60^{\circ}$.
$\because \angle DPE = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle DPE = \angle B$.
$\because \angle DPC$是$\triangle BDP$的外角，
$\therefore \angle DPE + \angle EPC = \angle B + \angle BDP$.
$\therefore \angle EPC = \angle BDP$.
(2) $\because \triangle PDE$为等边三角形，
$\therefore PD = PE$.
在$\triangle BDP$和$\triangle CPE$中，
$\begin{cases} \angle B = \angle C, \\ \angle BDP = \angle CPE, \\ PD = EP, \end{cases}$
$\therefore \triangle BDP \cong \triangle CPE(AAS)$.
$\therefore BD = CP$，$BP = CE$.
$\therefore BD + CE = CP + BP = BC = 8$.

7. 如图，在等腰三角形$ABC$中，$AC = BC$，$D$是$AB$边上的中点，$DE// AC$，交$BC$于点$E$.若$\angle A = 40^{\circ}$，则$\angle CDE$的度数是(C).

A.$40^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： 7. C