《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

整式乘法与多项式的因式分解是方向相反的变形，如何把二次三项式 $ax^2 + bx + c(a \neq 0)$ 分解因式呢？
我们已经知道：
$ (a_1x + c_1)(a_2x + c_2) = a_1a_2x^2 + a_1c_2x + a_2c_1x + c_1c_2 = a_1a_2x^2 + (a_1c_2 + a_2c_1)x + c_1c_2. $
反过来，我们可以得到：$a_1a_2x^2 + (a_1c_2 + a_2c_1)x + c_1c_2 = (a_1x + c_1)(a_2x + c_2)$。
我们发现，把二次三项式 $ax^2 + bx + c(a \neq 0)$ 的二次项的系数 $a$ 分解成 $a_1a_2$，常数项 $c$ 分解成 $c_1c_2$，并且把 $a_1$、$a_2$、$c_1$、$c_2$ 如图 1 所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就可以得到 $a_1c_2 + a_2c_1$，如果 $a_1c_2 + a_2c_1$ 的值正好等于 $ax^2 + bx + c$ 的一次项系数 $b$，那么 $ax^2 + bx + c$ 就可以分解为 $(a_1x + c_1)(a_2x + c_2)$，其中 $a_1$、$c_1$ 位于图 1 中的上一行，$a_2$、$c_2$ 位于图 1 中的下一行。
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式因式分解的方法，通常叫做十字相乘法。
例如，将式子 $x^2 - x - 6$ 因式分解的具体步骤为：首先把二次项的系数 $1$ 分解为两个因数的积，即 $1 = 1×1$，把常数项 $-6$ 也分解为两个因数的积，即 $-6 = 2×(-3)$；然后把 $1$、$1$、$2$、$-3$ 按图 2 所示的方式摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到 $1×(-3) + 1×2 = -1$，恰好等于一次项的系数 $-1$，于是 $x^2 - x - 6$ 就可以分解为 $(x + 2)(x - 3)$。

(1)请同学们认真观察和思考，尝试在图 3 的方格内填入适当的数，并用十字相乘法分解因式：$x^2 + x - 6 =$(x+3)(x-2)。
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法，并尝试对下面两个二次三项式进行因式分解：
(2)$2x^2 + 5x - 7 =$(x-1)(2x+7)。
(3)$6x^2 - 7x + 2 =$(2x-1)(3x-2)。

答案：
(1)(x+3)(x-2)；
(2)(x-1)(2x+7)；
(3)(2x-1)(3x-2)

1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(C)。

A.$ax + ay + a = a(x + y) + a$
B.$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$
C.$m^2 - 6m + 9 = (m - 3)^2$
D.$x^2 - y^2 + 1 = (x + y)(x - y) + 1$

答案： 1.C