《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

如图是一个底面积为$a^{2}$的长方体盒子，它的体积是$(a^{3}+a^{2}b+a^{2}c)$，你能求出这个长方体的高吗？

答案： $a + b + c$

1. 多项式除以单项式法则：
多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

答案： 1. 每一项 相加

2. 运用多项式除以单项式法则，将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式。

答案： 2. 单项式除以单项式

例题 计算：
（1）$(8a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{3}c - 2ab^{4})÷(-2ab^{2})$。
（2）$(x^{4}+2x^{3}-\frac{1}{2}x^{2})÷(-\frac{1}{2}x)^{2}$。
答案：（1）$(8a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{3}c - 2ab^{4})÷(-2ab^{2})=-4a^{2}b - 3abc + b^{2}$。
（2）$(x^{4}+2x^{3}-\frac{1}{2}x^{2})÷(-\frac{1}{2}x)^{2}=(x^{4}+2x^{3}-\frac{1}{2}x^{2})÷\frac{1}{4}x^{2}=4x^{2}+8x - 2$。
方法点拨 按照多项式除以单项式法则进行计算即可。

答案： （1）$(8a^{3}b^{3}+6a^{2}b^{3}c - 2ab^{4})÷(-2ab^{2})=-4a^{2}b - 3abc + b^{2}$。（2）$(x^{4}+2x^{3}-\frac{1}{2}x^{2})÷(-\frac{1}{2}x)^{2}=(x^{4}+2x^{3}-\frac{1}{2}x^{2})÷\frac{1}{4}x^{2}=4x^{2}+8x - 2$。

我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题。
项目主题：用竖式的方法解决多项式除以多项式。
项目实施：
任务一 搜集资料：我们可以先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类比数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为$0$或余式的次数低于除式的次数。
(1)请把$4x^{2}+5x+x^{3}-6$按$x$的指数从大到小排列：x^{3}+4x^{2}+5x-6。
任务二 竖式计算：
例如：计算$(8x^{2}+6x+1)÷(2x+1)$时，可仿照$672÷21$的计算方法用竖式进行计算。

因此$(8x^{2}+6x+1)÷(2x+1)=4x+1$。
(2)“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是(B)。
A. 数形结合
B. 类比
C. 方程
任务三 学以致用：
(3)$(4x^{2}+5x+x^{3}-6)÷(x+2)$的商式是x^{2}+2x+1，余式是-8。

答案： $(1)x^{3}+4x^{2}+5x-6 (2)B (3)x^{2}+2x+1 -8$