《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

13. 如图 1，将两个含$30^{\circ}$角的直角三角板摆放在一起，可以证得△ABD 是等边三角形. 于是我们得到结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 交换命题的条件和结论，得到下面的命题：如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB = $90^{\circ}$，如果$CB=\frac{1}{2}AB$，那么∠BAC = $30^{\circ}$.
请判断此命题的真假. 若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由.

答案：
13. 此命题是真命题.理由：如图，延长BC至点D，使CD=BC，连结AD.
∵ ∠ACB=90°，CD=BC，
∴ AC是线段BD的垂直平分线.
∴ AB=AD.
∵ CB=$\frac{1}{2}$AB.
∴ BD=AB.
∴ △ABD是等边三角形.
∴ ∠BAD=60°.
∵ AC⊥BD，
∴ ∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°.

14. 【阅读材料】下面是关于同旁内角的定义.

如图 1，∠3 和∠6 在直线 AB、CD 之间，且它们也都在直线 EF 的同一旁(左侧)，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.
【类比探究】
(1)如图 2，具有∠1 与∠2 这种位置关系的两个角叫做同旁外角，请在图中再找出一对同旁外角，分别用∠3、∠4 在图中标记出来.
(2)如图 3，直线$a// b$，当∠1 = $145^{\circ}$时，∠2 = 35$^{\circ}$.
(3)如图 4，已知∠1 + ∠2 = $180^{\circ}$，试证明$a// b$，并归纳出一个真命题(用文字叙述).

答案：
14.
(1)如图，∠3与∠4互为同旁外角.
(2)35
(3)
∵ ∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，
∴ ∠2=∠3.
∴ a//b.真命题：同旁外角互补，两直线平行.