《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

在小学时，我们已经学习了将整数进行因数分解，如 $42 = 2×3×7$。类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，以便更好地解决与研究一些问题。
如图，在长为 $a$、宽为 $m$ 的长方形空地种花，在长为 $b$、宽为 $m$ 的长方形空地种草。

（1）你能用两种方法表示两块空地的总面积吗？
（2）观察下面的式子，感受因式分解的概念。
$ am + bm \xtofrom[整式乘法]{因式分解} m(a + b) $

答案： （1）方法一：$am + bm$；方法二：$m(a + b)$。
（2）因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，如$am + bm$分解为$m(a + b)$。

1. 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。

答案： 1. 多项式 积

2. 多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之为公因式。

答案： 2. 相同的

3. 确定公因式的一般步骤：①定系数(找各项的系数的最大公因数)；②定字母(找各项中相同的字母，且相同字母的指数取最低)。

答案： 3. 最大公因数 相同 最低

例1
下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是(D)。

A.$m^2 - 4 + m = (m + 2)(m - 2) + m$
B.$m^2 - 5 = m\left(m - \frac{5}{m}\right)$
C.$n(a + b) = na + nb$
D.$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
答案：D
【解析】$m^2 - 4 + m = (m + 2)(m - 2) + m$，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故 A 选项错误；$m^2 - 5 = m\left(m - \frac{5}{m}\right)$，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故 B 选项错误；$n(a + b) = na + nb$，是整式的乘法，不是因式分解，故 C 选项错误；$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$，等式右边是整式积的形式，是因式分解，故 D 选项正确。

答案： 例1 答案：D

例2
因式分解：
（1）$6a^2m - 3am$。
（2）$m(a - 2) + n(2 - a)$。
（3）$(x - 1)^2 + 3(x - 1)$。
答案：（1）$6a^2m - 3am = 3am(2a - 1)$。
（2）$m(a - 2) + n(2 - a) = m(a - 2) - n(a - 2) = (a - 2)(m - n)$。
（3）$(x - 1)^2 + 3(x - 1) = (x - 1)(x - 1 + 3) = (x - 1)(x + 2)$。
方法点拨 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键。

答案： 例2 （1）$6a^2m - 3am = 3am(2a - 1)$。（2）$m(a - 2) + n(2 - a) = m(a - 2) - n(a - 2) = (a - 2)(m - n)$。（3）$(x - 1)^2 + 3(x - 1) = (x - 1)(x - 1 + 3) = (x - 1)(x + 2)$。