《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

如图是某斜拉桥的剖面图，BC是桥面，AD是桥墩.设计大桥时，工程师要求斜拉的钢索AB=AC.大桥建成后，工程技术人员要对大桥质量进行验收，由于桥墩AD很高，无法直接测量钢索AB、AC的长度.如果测量工具只有量角器，那么你有什么办法能知道AB与AC是否相等呢？

答案： 测量∠B和∠C，若相等则AB=AC

1. 等腰三角形的判定：
判定1：等腰三角形的定义.
判定2：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简写为“等角对等边”).

答案： 1. 两个角相等　等角对等边

2. 等边三角形的判定：
判定1：等边三角形的定义.
判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定3：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

答案： 2. 三个角　60°

例题 在等边三角形ABC中，E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.
（1）如图1，若E是AB的中点，求证：BD=AE.
（2）如图2，若E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD=AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系；若成立，请给予证明.

答案：（1）∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠ACB=60°.
∵ E是AB的中点，
∴ CE平分∠ACB，AE=BE.
∴ ∠BCE=30°.
∵ ED=EC，
∴ ∠D=∠BCE=30°.
∵ ∠ABC=∠D+∠BED，
∴ ∠BED=30°.
∴ ∠D=∠BED.
∴ BD=BE.
∴ AE=DB.
（2）AE=DB.
理由：过点E作EF//BC，交AC于点F（如图所示）.

∴ ∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB.
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC.
∴ ∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°.
∴ △AEF是等边三角形.
∴ AE=EF.
∴ ∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°.
∵ DE=EC，
∴ ∠D=∠ECD.
∴ ∠BED=∠FCE.
在△DEB和△ECF中，
$\begin{cases}∠DEB=∠ECF，\\∠DBE=∠EFC，\\DE=EC，\end{cases}$
∴ △DEB≌△ECF（AAS）.
∴ DB=EF.
∴ AE=BD.
【解析】（1）先由等边三角形的性质得出AE=BE，∠BCE=30°，然后根据ED=EC，得出∠D=∠BCE=30°，进而得出∠D=∠DEB，DB=BE，从而证得AE=DB；（2）从作辅助线得等边三角形AEF，得到AE=EF，进而证明三角形全等，得到DB=EF，证得AE=DB.
方法点拨 本题第（2）问构造等边三角形是解题的关键，在此基础上得到△DEB≌△ECF，进而由AE=EF，DB=EF，最后得到AE=BD.

答案： （1）
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE=BE.
∴∠BCE=30°.
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°.
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=30°.
∴∠D=∠BED.
∴BD=BE.
∴AE=DB.
（2）AE=DB.
理由：过点E作EF//BC，交AC于点F.
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC.
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°.
∴△AEF是等边三角形.
∴AE=EF.
∵∠DBE=180°-∠ABC=120°，∠EFC=180°-∠AFE=120°，
∴∠DBE=∠EFC.
∵∠ABC=∠D+∠BED=60°，∠ACB=∠FCE+∠ECD=60°，
又
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD.
∴∠BED=∠FCE.
在△DEB和△ECF中，
$\begin{cases}∠DEB=∠ECF,\\∠DBE=∠EFC,\\DE=EC,\end{cases}$
∴△DEB≌△ECF（AAS）.
∴DB=EF.
∴AE=BD.