《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

如图，小英家附近有三个小区$A$、$B$、$C$，小英的爸爸准备开一个超市，要求超市$P$到三个小区的距离相等，你能帮他确定超市的位置吗？

答案： P（即交点位置）

1. 线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线.

答案： 1.线段的垂直平分线

2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

答案： 2.线段两端的距离相等

3. 线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

答案： 3.线段的垂直平分线上

4. 线段垂直平分线的性质定理与判定定理是(填“是”或“不是”)互逆定理.

答案： 4.是

5. 三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三角形三个顶点的距离相等.

答案： 5.三角形三个顶点的距离

例题 定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心.
如图 1，直线$l_{1}$、$l_{2}$、$l_{3}$分别是边$AB$、$BC$、$AC$的垂直平分线.
求证：直线$l_{1}$、$l_{2}$、$l_{3}$相交于一点.
证明：如图 2，设直线$l_{1}$、$l_{2}$相交于点$O$，连结$OA$、$OB$、$OC$.
∵ 直线$l_{1}$是$AB$的垂直平分线，
∴ $OA = OB$.（依据 1）
∵ 直线$l_{2}$是$BC$的垂直平分线，
∴ $OB = OC$.
∴ $OA = OC$.（依据 2）
∵ 直线$l_{3}$是$AC$的垂直平分线，
∴ 点$O$在直线$l_{3}$上.（依据 3）
∴ 直线$l_{1}$、$l_{2}$、$l_{3}$相交于一点.
（例题图）
（1）上述证明过程中的“依据 1”“依据 2”“依据 3”分别指什么？
（2）如图 3，直线$l_{1}$、$l_{2}$分别是$AB$、$AC$的垂直平分线，直线$l_{1}$、$l_{2}$相交于点$O$，点$O$是$\triangle ABC$的外心，直线$l_{1}$交$BC$于点$M$，直线$l_{2}$交$BC$于点$N$，分别连结$AM$、$AN$、$OA$、$OB$、$OC$，若$OA = 6\mathrm{cm}$，$\triangle OBC$的周长为$22\mathrm{cm}$，求$\triangle AMN$的周长.
答案：（1）依据 1：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；依据 2：等量代换；依据 3：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
（2）∵ 直线$l_{1}$是$AB$的垂直平分线，
∴ $AM = BM$，$OA = OB$.
∵ 直线$l_{2}$是$AC$的垂直平分线，
∴ $AN = CN$，$OA = OC$.
∴ $OB = OC = OA = 6\mathrm{cm}$，
$\triangle AMN$的周长$= AM + MN + AN = BC$.
∵ $\triangle OBC$的周长为$22\mathrm{cm}$，
∴ $BC = 22 - (OB + OC)$
$= 22 - 12 = 10(\mathrm{cm})$.
∴ $\triangle AMN$的周长为$10\mathrm{cm}$.
【解析】（1）此题实际上是要证点$O$在直线$l_{3}$上，所以先利用线段垂直平分线的性质定理证得$OA = OB$，$OB = OC$，从而得到$OA = OC$. 再根据线段垂直平分线的判定定理进行推理论证得到结论；（2）由线段$AB$的垂直平分线的性质定理可得$AM = BM$，$OA = OB$，同理得$AN = CN$，$OA = OC$，所以$OB = OC = OA = 6\mathrm{cm}$. 所以求$\triangle AMN$的周长$AM + AN + MN$就可转化为求线段$BC$的长度的问题，根据$\triangle OBC$的周长的计算方法求得$BC$的长度即可.

答案： （1）依据 1：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；依据 2：等量代换；依据 3：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
（2）
∵ 直线$l_{1}$是$AB$的垂直平分线，
∴ $AM = BM$，$OA = OB$.
∵ 直线$l_{2}$是$AC$的垂直平分线，
∴ $AN = CN$，$OA = OC$.
∴ $OB = OC = OA = 6\mathrm{cm}$，
$\triangle AMN$的周长$= AM + MN + AN = BC$.
∵ $\triangle OBC$的周长为$22\mathrm{cm}$，
∴ $BC = 22 - (OB + OC)$
$= 22 - 12 = 10(\mathrm{cm})$.
∴ $\triangle AMN$的周长为$10\mathrm{cm}$.