《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

4. 如图，点$D$在线段$BC$上，$\angle B = \angle C = \angle ADE = 60^{\circ}$，$AB = DC$.
(1) 求证：$\triangle ABD \cong \triangle DCE$.
(2) 判断$\triangle ADE$是什么特殊三角形，并说明理由.

答案： 4.
(1)
∵ ∠ADC=∠ADE+∠CDE=60°+
∠CDE,∠ADC=∠B+∠BAD=60°+∠BAD,
∴ ∠BAD=∠CDE.
在△ABD和△DCE中,
$\begin{cases}∠B=∠C,\\AB=DC,\\∠BAD=∠CDE,\end{cases}$
∴ △ABD≌△DCE(ASA).
(2)△ADE是等边三角形.
理由:由
(1)知△ABD≌△DCE,
∴ AD=DE.
又
∵ ∠ADE=60°,
∴ △ADE是等边三角形.

5. 如图，在等边三角形$ABC$中，点$P$、$Q$在边$BC$上，并且满足$BP = CQ$，作$\triangle ACQ$关于直线$AC$的对称图形$\triangle ACM$，连结$AP$、$PM$，线段$PM$、$AC$交于点$N$.
(1) 当$\angle BAP = 15^{\circ}$时，$\angle QAM =$30°.
(2) 求证：$AP = PM$.

答案： 5.
(1)30°
(2)
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠B=∠ACQ=60°,AB=AC.
在△ABP和△ACQ中,
$\begin{cases}BP=CQ,\\∠B=∠ACQ,\\AB=AC,\end{cases}$
∴ △ABP≌△ACQ.
∴ AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵ △ACM与△ACQ关于直线AC对称,
∴ AM=AQ,∠CAM=∠CAQ.
∴ AP=AM,∠BAP=∠CAM.
∴ ∠PAM=∠PAC+∠CAM=∠PAC+
∠BAP=∠BAC=60°.
∴ △APM是等边三角形.
∴ AP=PM.

6. 已知在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是边$AB$上一点，$\angle BCD = \angle A$.
(1) 如图 1，试说明$CD = CB$.
(2) 如图 2，过点$B$作$BE \perp AC$，垂足为点$E$，$BE$与$CD$相交于点$F$.
① 试说明$\angle BCD = 2\angle CBE$；
② 如果$\triangle BDF$是等腰三角形，求$\angle A$的度数.

答案： 6.
(1)
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB.
∵ ∠BDC是△ADC的一个外角,
∴ ∠BDC=∠A+∠ACD.
∵ ∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
∴ ∠BDC=∠ACB.
∴ ∠ABC=∠BDC.
∴ CD=CB.
(2)①
∵ BE⊥AC,
∴ ∠BEC=90°.
∴ ∠CBE+∠ACB=90°.
设∠CBE=α,则∠ACB=90°-α.
∴ ∠ABC=∠BDC=90°-α.
∴ ∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC
=180°-(90°-α)-(90°-α)
=2α.
∴ ∠BCD=2∠CBE.
②
∵ ∠BFD是△CBF的一个外角,
∴ ∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α.
分三种情况:
a.当BD=BF时,
∴ ∠BDC=∠BFD=3α.
∵ ∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α,
∴ 90°-α=3α.
∴ α=22.5°.
∴ ∠A=∠BCD=2α=45°.
b.当DB=DF时,
∴ ∠DBE=∠BFD=3α.
∵ ∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-α-α
=90°-2α,
∴ 90°-2α=3α.
∴ α=18°.
∴ ∠A=∠BCD=2α=36°.
c.当FB=FD时,
∴ ∠DBE=∠BDF.
∵ ∠BDF=∠ABC＞∠DBF,
∴ 不存在FB=FD.
综上所述,如果△BDF是等腰三角形,那么
∠A的度数为45°或36°.