《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

酷爱阅读的小芳在课外书上遇到一道题：“已知 $ a = 2^{55}, b = 3^{44}, c = 4^{33} $，试比较 $ a $、$ b $、$ c $ 的大小。”
小芳思来想去也没有办法，你能帮帮她吗？

答案： $a \lt c \lt b$（由于本题为填空题，无需对应ABCD选项，直接给出大小关系即可）

幂的乘方运算法则：
文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
符号语言：$ (a^{m})^{n} = $$a^{mn}$($ m $、$ n $ 为正整数)。

答案： 幂的乘方运算法则：文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘。符号语言：$(a^{m})^{n}=a^{mn}$（m、n为正整数）

例题 计算：
（1）$ (a^{5})^{3} + a^{5} \cdot a^{10} + (a^{3})^{5} $。
（2）$ (a^{5})^{2} \cdot (a^{2})^{2} - (a^{2})^{4} \cdot (a^{3})^{2} $。
（3）$ (a^{5})^{4} \cdot [ - (a^{2})^{3} ] $。
答案：（1）$ (a^{5})^{3} + a^{5} \cdot a^{10} + (a^{3})^{5} = a^{15} + a^{15} + a^{15} = 3a^{15} $。
（2）$ (a^{5})^{2} \cdot (a^{2})^{2} - (a^{2})^{4} \cdot (a^{3})^{2} = a^{10} \cdot a^{4} - a^{8} \cdot a^{6} = a^{10 + 4} - a^{8 + 6} = a^{14} - a^{14} = 0 $。
（3）$ (a^{5})^{4} \cdot [ - (a^{2})^{3} ] = a^{20} \cdot (-a^{6}) = -a^{26} $。
方法点拨 先计算幂的乘方，再计算同底数幂相乘，最后合并同类项即可。

答案： （1）
$\begin{aligned} (a^{5})^{3} + a^{5} \cdot a^{10} + (a^{3})^{5} \\ = a^{5 × 3} + a^{5+10} + a^{3 × 5} \\ = a^{15} + a^{15} + a^{15} \\ = 3a^{15} \end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned} (a^{5})^{2} \cdot (a^{2})^{2} - (a^{2})^{4} \cdot (a^{3})^{2} \\ = a^{5 × 2} \cdot a^{2 × 2} - a^{2 × 4} \cdot a^{3 × 2} \\ = a^{10} \cdot a^{4} - a^{8} \cdot a^{6} \\ = a^{10+4} - a^{8+6} \\ = a^{14} - a^{14} \\ = 0 \end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned} (a^{5})^{4} \cdot [- (a^{2})^{3}] \\ = a^{5 × 4} \cdot (-a^{2 × 3}) \\ = a^{20} \cdot (-a^{6}) \\ = -a^{20+6} \\ = -a^{26} \end{aligned}$

比较 $ 2023^{2024} $ 与 $ 2024^{2023} $ 的大小时，我们可以采用“从特殊到一般”的思想方法：
(1)计算比较下列各式中两数的大小(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)：
① $ 1^{2} $＜ $ 2^{1} $，② $ 2^{3} $＜ $ 3^{2} $，③ $ 3^{4} $＞ $ 4^{3} $，④ $ 4^{5} $＞ $ 5^{4} $，⑤ $ 5^{6} $＞ $ 6^{5} $，……
(2)由(1)猜测 $ n^{n + 1} $ 与 $ (n + 1)^{n} $($ n $ 为正整数)的大小关系：
当 $ n $≤2时，$ n^{n + 1} ＜ (n + 1)^{n} $；当 $ n $＞2时，$ n^{n + 1} ＞ (n + 1)^{n} $。
(3)根据上面的猜测，则 $ 2023^{2024} $＞(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)$ 2024^{2023} $。

答案：
(1)①＜ ②＜ ③＞ ④＞ ⑤＞
(2)≤2 ＞2
(3)＞

1. 下列计算中，结果是 $ a^{6} $ 的是(D)。

A.$ a^{2} + a^{4} $
B.$ a^{2} \cdot a^{3} $
C.$ a^{12} + a^{2} $
D.$ (a^{2})^{3} $

答案： 1.D

2. 下列计算正确的是(C)。

A.$ a^{2} + a^{3} = a^{5} $
B.$ (a^{2})^{3} = a^{5} $
C.$ a^{2} × a^{3} = a^{5} $
D.$ (-a^{2})^{3} = a^{6} $

答案： 2.C

3. 计算 $ (m^{3})^{2} \cdot m^{4} $ 的过程如下：① $ (m^{3})^{2} \cdot m^{4} = m^{6} \cdot m^{4} $；② $ m^{6} \cdot m^{4} = m^{10} $。步骤①②分别表示的运算(A)。

A.幂的乘方，同底数幂相乘
B.乘法交换律，同底数幂相乘
C.幂的乘方，乘法结合律
D.乘法交换律，合并同类项

答案： 3.A