《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行探究。
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$AC = DF$，$BC = EF$，$\angle B=\angle E$，然后，对$\angle B$进行分类，分$\angle B$是直角、钝角、锐角三种情况进行探究。
【深入探究】
第一种情况：当$\angle B$是直角时，$\triangle ABC\cong \triangle DEF$。
(1) 如图 1，在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$AC = DF$，$BC = EF$，$\angle B=\angle E = 90^{\circ}$，根据HL，可以知道$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEF$。
第二种情况：当$\angle B$是钝角时，$\triangle ABC\cong \triangle DEF$。
(2) 如图 2，在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$AC = DF$，$BC = EF$，$\angle B=\angle E$，且$\angle B$、$\angle E$都是钝角。求证：$\triangle ABC\cong \triangle DEF$。
第三种情况：当$\angle B$是锐角时，$\triangle ABC$与$\triangle DEF$不一定全等。
(3) 在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$AC = DF$，$BC = EF$，$\angle B=\angle E$，且$\angle B$、$\angle E$都是锐角，请你用尺规在图 3 中作出$\triangle DEF$，使$\triangle DEF$和$\triangle ABC$不全等(不写作法，保留作图痕迹)。
(4) 在图 3 中，$\angle B$还要满足什么条件，就可以使$\triangle ABC\cong \triangle DEF$？请直接写出结论：在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$AC = DF$，$BC = EF$，$\angle B=\angle E$，且$\angle B$、$\angle E$都是锐角，若∠B≥∠A，则$\triangle ABC\cong \triangle DEF$。(只写一个条件即可)

答案：

(1)HL
(2)如图1,过点C作CG⊥AB,交AB的延长线于点G,过点F作FH⊥DE,交DE的延长线于点H.

∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC、∠DEF都是钝角,
∴180° - ∠ABC=180° - ∠DEF,
即∠CBG=∠FEH;
在△CBG和△FEH中,
∠CBG=∠FEH,
∠G=∠H=90°,
BC=EF,
∴△CBG≌△FEH(AAS).
∴CG=FH;
在Rt△ACG和Rt△DFH中,
AC = DF,
CG = FH,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL).
∴∠A=∠D.
在△ABC和△DEF中,
∠ABC=∠DEF,
∠A=∠D,
AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
(3)如图2,△DEF与△ABC不全等.

(4)答案不唯一,如∠B≥∠A,∠B + ∠C=90°等