《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

10. 某地要开发一块三角形植物园△ABC，如图，测得AC=80m，BC=60m，AB=100m。
（1）若入口E在边AB上，且AB=2BE，求从入口E到出口C的路线的长。
（2）若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，已知水渠造价为100元/m，则点D在距离点B多远处，此水渠造价最低，并求出水渠CD的最低总造价。

答案：
10.
(1)
∵ $AC = 80 m$,$BC = 60 m$,$AB = 100 m$,
∴ $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$.
∴ $\triangle ABC$为直角三角形,且$\angle ACB = 90^{\circ}$.
∵ $AB = 2BE$,
∴ $E$ 为 $AB$ 的中点,即 $CE$ 为 $AB$边上的中线.
∴ $CE=\frac{1}{2}AB = 50 m$.
答:从入口 $E$ 到出口 $C$ 的路线的长为 $50 m$.
(2)如图,作 $CF\perp AB$,交 $AB$ 于点 $F$,当 $CD$为 $CF$ 时,总造价最低.

∵ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CF$,
∴ $CF=\frac{80×60}{100}=48(m)$.
总造价 $=48×100 = 4800(元)$.
答:水渠 $CD$ 的最低总造价为 $4800$ 元.

11. 所谓的勾股数就是指使等式a²+b²=c²成立的任意三个正整数。我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n(m＞n)，取a=m²−n²，b=2mn，c=m²+n²，则a、b、c就是一组勾股数。结合这种方法，可知85(三个数中最大)、84和13可以组成一组勾股数。

答案： 11. 13

12. 如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE是BC边的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F。关于△ABC的形状，小明和小亮展开以下讨论：
小明：如果△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，那么我可以求出AE的长。
我的思路是这样的：如图，连结CE。
设AE=x，则BE=4−x。
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ CE=BE=4−x。
……
小亮：如果DF的长为$\frac{7}{10}$，那么此时△ABC是直角三角形。
（1）请补充完整小明的求解过程。
（2）请判断小亮的说法是否正确？并说明理由。

答案： 12.
(1)补充如下:
∵ $\angle BAC = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$AB = 4$,
∴ $AE^{2}+AC^{2}=CE^{2}$,
即 $x^{2}+3^{2}=(4 - x)^{2}$.
解得 $x=\frac{7}{8}$,
即 $AE=\frac{7}{8}$.
(2)小亮的说法正确.
理由:设 $BD = y$,则 $CD = y$.
∵ $DF=\frac{7}{10}$,
∴ $BF=y+\frac{7}{10}$,$CF=y-\frac{7}{10}$
∵ $AF\perp BC$,
∴ $AB^{2}-BF^{2}=AC^{2}-CF^{2}=AF^{2}$,
即 $4^{2}-(y+\frac{7}{10})^{2}=3^{2}-(y-\frac{7}{10})^{2}$.
解得 $y=\frac{5}{2}$
∴ $BC = 5$.
∵ $AB^{2}+AC^{2}=4^{2}+3^{2}=5^{2}=BC^{2}$,
∴ $\triangle ABC$ 为直角三角形.