《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

7. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ AB = 8 $，$ AC = 6 $，$ AD \perp BC $，垂足为点 $ D $.
（1）求 $ BC $ 的长.
（2）求 $ AD $ 的长.

答案： 7.
(1)在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=$
$\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$.
(2)
∵ S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$AB·AC,
∴ $\frac{1}{2}$×10·AD=$\frac{1}{2}$×8×6.
解得AD=4.8.

8. 图 1 中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度. 其示意图如图 2，其中 $ AB = AB' $，$ AB \perp B'C $ 于点 $ C $，$ BC = 0.5 $ 尺，$ B'C = 2 $ 尺，则 $ AC $ 的长度为3.75尺.
(第8题图)

答案： 8.3.75

9. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC = 5 $，$ BC = 8 $，$ P $ 是 $ BC $ 边上的动点，过点 $ P $ 作 $ PD \perp AB $ 于点 $ D $，$ PE \perp AC $ 于点 $ E $，则 $ PD + PE $ 的长是(A).

A.$ 4.8 $
B.$ 4.8 $ 或 $ 3.8 $
C.$ 3.8 $
D.$ 5 $
思考：反思解题过程，给你什么启示？

答案：
9.A
解析:如图，过点A作

AF⊥BC于点F，连结AP.
在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，
∴ BF=4.
∴ 在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{AB^{2}-BF^{2}}=3$.
∵ S△ABC=S△ABP+S△ACP,
∴ $\frac{1}{2}$×8×3=$\frac{1}{2}$×5×PD+$\frac{1}{2}$×5×PE,
即12=$\frac{1}{2}$×5×(PD+PE).
解得PD+PE=4.8.
故选A.
思考:略

10. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 15 $，$ BC = 14 $，$ AC = 13 $，求 $ \triangle ABC $ 的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
|如图，作 $ AD \perp BC $ 于点 $ D $，设 $ BD = x $，用含 $ x $ 的代数式表示 $ CD $.|根据勾股定理，利用 $ AD $ 作为“桥梁”，建立方程模型求出 $ x $.|利用勾股定理求出 $ AD $ 的长，再计算 $ \triangle ABC $ 的面积.|
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答案： 10.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x，则CD=14 - x.
根据勾股定理，得
AD²=AB² - BD²=15² - x²,
AD²=AC² - CD²=13² - (14 - x)².
∴ 15² - x²=13² - (14 - x)².
解得x=9.
∴ AD=$\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{15^{2}-9^{2}}=12$.
∴ S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD
=$\frac{1}{2}$×14×12=84.