《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

1. 甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数$n$，然后乙根据$n$的值计算代数式$P_{n}=n^{3}-n$的值.
(1) 填空：
① $P_{2}=2^{3}-2=1×2×3=$6；
② $P_{3}=3^{3}-3=2×3×4=$24；
③ $P_{5}=5^{3}-5=4×5×6=$120.
(2) 求证：$n^{3}-n$总能被$6$整除.

答案： 1.
(1)6 24 120
$(2)P_n=n^3 - n=n(n^2 - 1)=n(n - 1)(n + 1)，$
∵ n是正整数，
∴ n - 1、n、n + 1是三个连续整数，其中至少存在一个能被2整除的数，还有一个能被3整除的数，
∴ n(n - 1)(n + 1)能被6整除，
即$n^3 - n$总能被6整除.

2. 下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x+2)(x^{2}-4x+6)+4$进行因式分解的过程.
解：设$x^{2}-4x=y$，
则原式$=(y+2)(y+6)+4$ 第一步
$=y^{2}+8y+16$ 第二步
$=(y+4)^{2}$ 第三步
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$. 第四步
(1) 该同学第二步到第三步运用了因式分解的C.
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的平方公式
D. 两数差的平方公式
(2) 该同学因式分解的结果是否分解到了最后？否(填“是”或“否”). 如果没有，直接写出最后的结果：(x - 2)^4.
(3) 请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x+2)+1$进行因式分解.

答案： 2.
(1)C
(2)否$ (x - 2)^4 $
(3)设$x^2 - 2x = y，$
则原式=y(y + 2)+1
$=y^2 + 2y + 1 $
$=(y + 1)^2 $
$=(x^2 - 2x + 1)^2 $
$=(x - 1)^4.$