《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

1. 如图，在△ABC 中，∠BAC＞90°，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 E、F，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 M、N，直线 EF、MN 交于点 P.
(1) 求证：点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.
(2) 已知∠FAN=56°，求∠FPN 的度数.

答案：
1.
(1)如图，连结 $BP$、$AP$、$PC$.
$\because PE$ 垂直平分 $AB$，$PM$ 垂直平分 $AC$，
$\therefore PA = PB$，$PA = PC$.
$\therefore PB = PC$.
$\therefore$ 点 $P$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上.

(2)如图：

$\because EF$ 垂直平分 $AB$，$NM$ 垂直平分 $AC$，
$\therefore FA = FB$，$NA = NC$，$\angle FEA = \angle NMA = 90^{\circ}$.
$\therefore \angle B = \angle 1$，$\angle C = \angle 2$.
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B + \angle BAC + \angle C = 180^{\circ}$，
即 $2\angle 1 + 2\angle 2 + \angle FAN = 180^{\circ}$.
$\therefore \angle 1 + \angle 2 = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle FAN)$
$ = \frac{1}{2} × 124^{\circ}$
$ = 62^{\circ}$.
在四边形 $AEPM$ 中，$\angle PEA + \angle EAM + \angle PMA + \angle FPN = 360^{\circ}$，
$\therefore \angle FPN = 360^{\circ} - 2 × 90^{\circ} - 56^{\circ} - 62^{\circ}$
$ = 62^{\circ}$.

2. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，AN 垂直平分 BC，交 BC 于点 N，M 是 CD 的中点.
(1) 求证：AM 是线段 CD 的垂直平分线.
(2) 若∠MAN=70°，求∠BAD 的度数.

答案： 2.
(1)$\because AN$ 垂直平分 $BC$，
$\therefore AB = AC$.
$\because AB = AD$，
$\therefore AC = AD$.
$\because M$ 是 $CD$ 的中点，
$\therefore AM \perp CD$.
$\therefore AM$ 是线段 $CD$ 的垂直平分线.
(2)$\because AB = AC$，$AN \perp BC$，
$\therefore \angle BAC = 2\angle CAN$.
$\because AC = AD$，$AM \perp CD$，
$\therefore \angle CAD = 2\angle CAM$.
$\because \angle MAN = 70^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$
$ = 2\angle CAN + 2\angle CAM$
$ = 2\angle NAM$
$ = 2 × 70^{\circ} = 140^{\circ}$.

3. 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 CB 的延长线于点 F，连结 DE、AF.
(1) 判断 DE 与 AC 的位置关系，并证明.
(2) 求证：∠C=∠EAF.

答案： 3.
(1)$DE // AC$.
理由：$\because AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，
$\therefore \angle CAD = \angle BAD$.
$\because EF$ 垂直平分 $AD$，
$\therefore AE = DE$.
$\therefore \angle BAD = \angle EDA$.
$\therefore \angle CAD = \angle EDA$.
$\therefore DE // AC$.
(2)$\because EF$ 垂直平分 $AD$，
$\therefore EA = ED$，$FA = FD$.
在 $\triangle AEF$ 和 $\triangle DEF$ 中，
$\begin{cases} EA = ED, \\ EF = EF, \\ FA = FD, \end{cases}$
$\therefore \triangle AEF \cong \triangle DEF(SSS)$.
$\therefore \angle EAF = \angle EDF$.
$\because DE // AC$，
$\therefore \angle C = \angle EDF$.
$\therefore \angle C = \angle EAF$.