《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册华师大版》

12. 如图，在等腰三角形$ADC$中，$AD = CD$，且$AB // DC$，$CB \perp AB$于点$B$，$CE \perp AD$，交$AD$的延长线于点$E$.
（1）求证：$CE = CB$.
（2）连结$BE$，请写出$BE$与$AC$的关系，并证明.

答案： 12.
(1)
∵ $AD = CD$，
$\therefore \angle DAC = \angle DCA$.
∵ $AB // CD$，
$\therefore \angle DCA = \angle CAB$.
$\therefore \angle DAC = \angle CAB$.
$\therefore AC$是$\angle EAB$的平分线.
∵ $CE \perp AE$, $CB \perp AB$，
$\therefore CE = CB$.
(2)$AC$垂直平分$BE$.
由
(1)知，$CE = CB$.
∵ $CE \perp AE$, $CB \perp AB$，
$\therefore \angle CEA = \angle CBA = 90°$.
在$Rt \triangle CEA$和$Rt \triangle CBA$中，
$\begin{cases} AC = AC, \\ CE = CB, \end{cases}$
$\therefore Rt \triangle CEA \cong Rt \triangle CBA (HL)$.
$\therefore AE = AB$.
又
∵ $CE = CB$，
$\therefore$点$A$、点$C$均在线段$BE$的垂直平分线上.
$\therefore AC$垂直平分$BE$.